Beweisen Vollständige Induktion

Aufrufe: 63     Aktiv: 13.02.2021 um 18:28

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Ich habe folgendes Problem - ich verstehe die vollständige Induktion, nur leider habe ich keine Idee, die erfolgsversprechend ist, um das folgende Beispiel zu beweisen:


Gibt es dafür vielleicht eine Sonderregel, um das beweisen zu können.
Idee:
Ich hätte versucht nach der Summe + (i + 1)^(2) zu schreiben, dann für die i^3 (i + 1) eingesetzt und das muss theoretisch gleich sein
Ich komme auf das Ergebnis
i^(3) + (i + 1)^(2) = (i + 1)^(3).. wenn ich Induktionslogisch vorgehe mit der Voraussetzung
Also i^(3) + i^(2) + 2* i + 1 = i^(3) + 3i^(2) + 3*i + 1 und komme leider auf keine Gleichheit
Für das zweite hilft der Ansatz leider auch überhaupt nicht - gibt es dafür vielleicht eine andere Möglichkeit? - oder bedarf es hierbei keiner Gleichheit?

Danke schon mal :)
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Ich glaube es gibt keine Sonderregel, ich nehme mal an, du konntest den Induktionsanfang schon zeigen, dann fehlt jetzt eigentlich nur noch der Induktionsschritt. Nebenbei: Ich denke du hast etwas die Variablen i und n vertauscht bei deiner Beschreibung.
Ich würde wie folgt vorgehen: 
Du möchtest ja \((\sum_{i=1}^{n+1} i)^2 \)ausrechnen und dabei die Induktionsannahme irgendwie verwenden.

Ich würde das jetzt etwas anders aufschreiben: \((\sum_{i=1}^{n+1} i)^2 = ((\sum_{i=1}^{n} i )+ (n+1))^2 \) und mit Ausrechnen erhält man

\(((\sum_{i=1}^{n} i )+ (n+1))^2 = (\sum_{i=1}^{n} i )^2 + 2 \times (n+1) \times (\sum_{i=1}^{n} i ) + (n+1)^2 \).


Nun kannst du die Induktionsannahme verwenden: \( (\sum_{i=1}^{n} i )^2 = \sum_{i=1}^{n}{i^3} \)

Damit erhält man dann \( \sum_{i=1}^{n} i^3  + 2 \times (n+1) \times (\sum_{i=1}^{n} i ) + (n+1)^2 \)

Jetzt muss man "nur" noch zeigen, dass \(  2 \times (n+1) \times (\sum_{i=1}^{n} i ) + (n+1)^2 = (n+1)^3  \) ist. 
Falls du dafür noch Hilfe brauchst, kann ich dir auch das noch zeigen.

Tipp: Schreibe \( \sum_{i=1}^{n} i\) als Produkt
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Vielen Dank, auf das muss man einmal kommen - da fehlts mir leider noch... das man daraus die binomische Formel herleiten kann.
Ich bin jetzt schlussendlich auf das Ergebnis gekommen n³ + 3*n^(2) + 4n + 1 = n³ + 3*n^(2) + 3n + 1
Normalerweise funktioniert es ja so, dass ich die Zeile "Damit erhält man" mit (n + 1)^(3) gleichsetzt und ausrechnet (Hab das jetzt schon 4x gerechnet, komme auf kein anderes ergebnis)
n³ + 2(n(wobei n = Summe))*(n + 1) + (n + 1)² = (n + 1)³
n³ + 2n³ + 2n + n² + 2n + 1 = n³ + 3*n² + 3* n + 1 (keine Ahnung, was ich jetzt wieder falsch gemacht habe :/)
Danke auf jeden Fall :)
  ─   infomarvin 13.02.2021 um 17:27

Kein Problem, mit etwas Übung wird es immer einfacher, hatte zu Beginn auch sehr Mühe.
Vielleicht hast du hier nicht genau das richtige für die Summe genommen: Es ist eine Summe von \( 1 \) bis zu einem gewissen \(n \), d.h. man kann immer ein Glied von "vorne" und eines von "hinten" zusammen addieren und erhält dann \(\frac{n}{2} \) mal \( n+1\), also mit dem was vor der Summe steht: \( 2 \times (n+1) \times \frac{n}{2} \times (n+1)\) Die 2 hebt sich auf, dann:
\( n^3 + 2 n^2 + n \)

Mit dem was noch hinten dazuaddiert wird: \( n^3 + 2 n^2 + n + (n+1)^2 = n^3 + 2 n^2 + n + n^2 + 2n + 1 = n^3 + 3 n^2 + 3n + 1 = (n+1)^3 \)
  ─   mario.dietrich10 13.02.2021 um 17:57

Ja hab blöderweise bis jetzt zu wenig geübt und mich darauf beschränkt alles aus der Vorlesung zu verstehen, bringt nur nicht viel wie man bemerkt 😅   ─   infomarvin 13.02.2021 um 18:05

Das ist natürlich auch wichtig. Ich verstehe die Dinge aus der Vorlesung oft selbst nicht, bzw. würde nie auf so eine Herleitung kommen, aber es ist dann einfach gut, wenn man ungefähr weiss, wie man sie anwenden kann/muss.   ─   mario.dietrich10 13.02.2021 um 18:16

Hab für den ersten Test von den 300 eh 200 Beispiele gelöst, aber da war eben keine schwierigere Induktion dabei - das war von einer ehemaligen VO Prüfung, die mir auch noch bevorsteht 😅   ─   infomarvin 13.02.2021 um 18:27

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