Teilbarkeit mittels Restklassenarithmetik bestimmen

Erste Frage Aufrufe: 282     Aktiv: 11.08.2023 um 17:50

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Guten Tag,
ich bin über folgendes Problem gestoßen:
33^(63)+63^(33) soll auf Teilbarkeit mit 72 überprüft werden. Dafür wurde als Hinweis auf einen Satz im Skript hingewiesen, "Seien a, b, c ∈ Z sind a und b teilerfremd, so folgt aus a | c und b | c, dass auch (a · b) | c gilt."
Ich wusste nicht welchen Zusammenhang dies genau hatte, also habe ich irgendwie die Exponenten gleich zu bringen mit,
33^(63) = 33^(64)*(1/33)=33^(2(32))*(1/33) und
63^(33)=63^(32)*63,
um das dann irgendwie zu summieren. 
Die Rechnung wurde dann zu aufwendig, also denke ich etwas übersehen zu haben.

Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
Vielen Dank 

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"Ich wusste nicht welchen Zusammenhang dies genau hatte, also ... irgendwie..."
Die erste Aufgabe besteht darin, den Zusammenhang mit dem Hinweis zu erkennen. Es ist also $c:=33^{63}+63^{33}$ und $a\cdot b=72$. Soweit solltest Du auf jeden Fall kommen, das ist logisches Denken. Nun finde $a,b$ so, dass der Hinweis passt, dazu gibt es auch nur eine Möglichkeit.
Dann prüfe $a|c$ und $b|c$, da gibt es was ernsthaft zu überlegen/rechnen (vorher nicht).
Aus dem Hinweis kannst Du übrigens auch noch (wieder logisches Denken) schließen, dass wohl Teilbarkeit durch 72 vorliegen wird. Denn der Hinweis dient ja dem Nachweis von Teilbarkeit, nicht von Nichtteilbarkeit.
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Hallo,
der Tip ist hier ganz klar:  8 teilt und 9 teilt dann teilt auch 72 die Potenz
33 lässt Rest 1 und 63 Rest Minus 1
Für ungerade Potenzen gehts nach der Potenzrechenregel für Kongruenzen genauso,1 hoch n =1 und -1 hoch n=-1, bleiben Rest 1 und -1, addiert zusammen Rest 0.

Weil 33=3x11 und 63=3*3*7  ist jede Potenz höher als 2 mit mindestens 2 Dreien in der Pfz behaftet, daher duch 9 tb.
Dann gilt nach diesem Satz , dass das dann durch 72 tb ist.
Ich hoffe mich einigermaßen verständlich ausgedrückt zu haben
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Wir freuen uns über neue Helfer, aber lies bitte zuerst den Kodex (link oben rechts) und schau Dich hier mal um. Wir legen hier Wert darauf, bei der Lösung und beim Lernen zu helfen, und das geht nicht gut durch Vorrechnen.   ─   mikn 11.08.2023 um 11:50

hatte ich so nicht verstanden aber bin ja auch neu hier   ─   thomas.musche 11.08.2023 um 17:50

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