Algebraische Struktur: Existiert ein neutrales Element in dieser Struktur?

Aufrufe: 354     Aktiv: 14.09.2021 um 19:43
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Ich soll überprüfen, ob es in der Menge der reellen Zahlen mit der Verknüpfung a*b = ab - 4 ein neutrales Element gibt.

Dazu müsste gelten e*a = a*e = a

Wenn ich das einmal aufschreibe, würde das bedeuten:

ea - 4 = a und ae - 4 = a

Ich hätte jetzt gesagt, dass es hier kein neutrales Element gibt, wegen dem - 4. Ohne das - 4 könnte man ja bei sagen, dass 1 das neutrale Element wäre, das geht aber hier ja nicht. Allerdings weiß ich nicht, wie ich es begründen soll, dass es kein neutrales Element gibt. Oder gibt es doch eines?
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Ja ist erlaub.t   ─   usera70f42 14.09.2021 um 19:04
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Ersteinmal hast du recht, dass es kein neutrales Element gibt. Zeigen kannst du dies durch einen Widerspruchsbeweis: Sei \(e\) neutral und \(a \not = 0\), dann gilt \(a \circ e = a\cdot e -4=a \Leftrightarrow e=\frac {a+4}a\). Somit hängt \(e\) von \(a\) ab, was ein Widerspruch ist, da das neutrale Element eindeutig bestimmt ist.
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