Es geht um rekursive Folgen

Aufrufe: 117     Aktiv: 27.09.2021 um 16:26

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Es seien a1=1und an+1=(2+an)/7 für alle ne N
a) Beweise mit VI, dass 1/3<an=1 für alle neN gilt
b)  Beweise, dass die Folge (an) monoton fallend ist.
c) Beweise, daß die Folge (an) konvergiert und berechne den Grenzwert.
Bei b) darf man a verwenden und bei c) darf man (a) und (b) verwenden.
Bei rekursiven Folgen tappe ich absolut im Dunkeln.
gefragt

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\((b)a_{n+1}<a_n\iff \frac{1}{7}(a_n+2)<a_n\) zu zeigen ist doch trivial!!
\((c)\)wegen (a) und (b) :\( \underset{n\to\infty}\lim a_{n+1}=a;\underset{n\to\infty}\lim a_n=a\) also nur noch einsetzen und a berechnen!
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Erstmal danke für die prompte Antwort. Ich möchte dazu folgendes sagen. Trivial ist es halt dann, wenn man's weiß bzw. genügend Übung hat.   ─   atideva 12.09.2021 um 11:09

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Bei (a) und (b) bietet sich ein Induktionsbeweis an. Die Konvergenz in (c) folgt unmittelbar aus (a) und (b), der Grenzwert lässt sich dann mit den Rechenregeln für konvergente Folgen berechnen.
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Und wo ist das jetzt eine Hilfestellung? Aus der Aufgabe geht bereits hervor, dass a) mit vollständiger Induktion zu zeigen ist und man bei c) die vorherigen Teilaufgaben nutzen soll.   ─   cauchy 11.09.2021 um 19:03

Die Hilfestellung ist eine aufbereitete Zusammenfassung der Aufgabe (es werden sogar mehr Details zum Vorgehen beschrieben). Wenn der Fragesteller konkrete Probleme bennen kann könnte ich auch besser helfen ohne die Lösung zu schreiben. Und bei Aufgabe (c) wurde ja bereits durch (a) und (b) die Konvergenz gezeigt, also war meine Hilfestellung, dass jetzt Rechenregeln für konvergente Folgen verwendet werden dürfen. Daher ist der Grenzwert nur ein paar Gleichungen entfernt.   ─   mathejean 11.09.2021 um 19:31

Ich hatte ja bereits geschrieben, daß ich bei rekursiven Folgen überhaupt nicht klar komme. Die Vorgehensweise ist mir beim Induktionsbeweis hier nicht klar, denn ich kann ja nicht einfach n+1 in irgendeiner Form dazu addieren. Da liegt der andere Kommentator mit seinen Ausführungen schon richtig.   ─   atideva 12.09.2021 um 10:08

Ich komme noch mal auf diese Aufgabe zurück. Bei mir stellt sich auch immer die Frage nach der Folgenvorschrift, bei der 1 das Ergebnis ist. Und da komme ich hier nicht weiter. Auch wenn diese Frage hier nicht gestellt wurde.   ─   atideva 27.09.2021 um 16:26

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