Altklausur Stochastik

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Moin

ich habe hier eine Altklausur, bei der ich mich unnötig schwer tue. Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen. Wie immer, gerne: nicht sofort die Lösung raus hauen.

Aufgabe 1:
a) 
\( \bullet \ \ \overset{-}{x}= \frac{1}{5}(8+10+12+6+4)=\frac{40}{5}=8
\\ \bullet \ \ \overset{-}{x}_M= 8
\\ \bullet \ \ \mu_{\frac{1}{2}} = \frac{5+1}{2}=3
\\ \bullet \ \ Spannweite = 12 - 4 = 8
\\ \bullet \ \ \sigma^2(X)= \frac{1}{5}[(8-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2+(6-8)^2+(4-8)^2]=\frac{1}{5}[0+4+16+4+16]=\frac{40}{5}=8
\)

Aufgabe 2:
Habe mir ein Baumdiagramm aufgezeichnet, bin mir aber nicht sicher, ob das passt (hab mich von den Wörter unabhängig und bedingt verwirren lassen)
a)
(kann man Baumdiagramm in latex machen?)
Gerät 1 = \( G_1\) und Gerät 2 = \( G_2\), zweistufig erst \( G_1\) und dann \( G_2\). \( G_1\) habe ich gewählt als "funktioniert" und \( \overset{-}{G_1} \) als "fällt aus" bei \( G_2\) ebenso.
A={"Genau ein Gerät fällt aus"} also ist: \( \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(G_1) \cdot \mathbb{P}(\overset{-}{G_2}\mid G_1)+\mathbb{P}\overset{-}{G_1} \cdot \mathbb{P}(G_2\mid \overset{-}{G_1})= 0.8 \cdot 0.4 + 0.2\cdot 0.6 = 0.44\ \)
Das ist doch Satz der totalen W'keit, richtig? War verwirrt, kam mir gerade beim Schreiben.

b)
hab ich mich verwirren lassen. ich dachte an Satz von Bayes, klassiker, aber klappt irgendwie nicht (glaube ich). ich schreib mal auf:
A={"Erstes Gerät fällt nicht aus"} und B={"Genau ein Gerät fällt aus"} also: \( \mathbb{P}(G_1 \mid \overset{-}{G_2})= \frac{\mathbb{P}(G_1)\cdot \mathbb{P}(\overset{-}{G_2} \mid G_1)}{\mathbb{P}(G_1)\cdot \mathbb{P}(\overset{-}{G_2} \mid  G_1) + \mathbb{P}(\overset{-}{G_1})\cdot \mathbb{P}(G_2 \mid \overset{-}{G_1})} = \frac{0.8 \cdot 0.4}{0.8 \cdot 0.4 + 0.2 \cdot 0.6} = \frac{0.32}{0.44} = 0.72727 \)
irgendwie hats doch geklappt :D wie gesagt, war verwirrt. Hat mich wohl nur gefrustet, dass ich es nicht auf Anhieb alles beantworten konnte.

c)
Da habe ich wieder die Konfidenzmatrix (?) erstellt und die Randverteilungen bestimmt, dann hab ich gesehen, dass das der selbe kram ist, den ich schon berechnet habe. Nichts desto trotz.
keine ahnung. also wir sind ja im diskreten und die Verteilungsfunktionen im diskreten sind ja meist nur Summen. aber kp wie ich das hier machen soll.


Aufgabe 3:
a) keine ahnung. das Maximum? das finde ich doch über die Ableitung raus. aber ich soll ja erst die Verteilung damit prüfen.

b) F(x) =1/2 ? also x herausfinden?

c) \( \mathbb{E}[X] = \int x \cdot f(x)\) aber 3X+1? wie ist das gemeint -> \( \mathbb{E}[X] = \int (3x+1) \cdot f(x)\) so?


Aufgabe 4:
krieg ich nicht wirklich hin. dachte anfangs mit der HYP zu arbeiten. aber da fehlt mir wohl bisschen Tipps.
           
   


Hilfe :)
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Aufgabe 1 ist schon mal falsch. Bitte noch einmal genau die Definitionen anschauen. Du hast hier eine Tabelle mit den Merkmalsausprägungen, wenn man diese in eine Urliste schreibt, erhält man 0, 0, 0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, usw. 
Das arithmetische Mittel berechnet sich nicht nur mit den absoluten Häufigkeiten. Das selbe Problem tritt bei den anderen Kenngrößen auf. Die Spannweite zum Beispiel bezieht sich auf die Merkmalsausprägungen und nicht auf die absoluten Häufigkeiten!

Aufgabe 2: Unabhängig bedeutet nur, dass die Geräte unabhängig voneinander arbeiten, das heißt, dass die Wahrscheinlichkeiten für einen Fehler nicht voneinander abhängen. Teil a) passt. Teil b) auch, aber Anmerkung dazu. Benutze doch die Ergebnisse aus a). Auch was die Schreibweise angeht. Da hast du nämlich schon \(A\) so definiert, dass genau ein Gerät ausfällt. Bei b) heißt das nun aber \(B\) bei dir. Sowas sollte man grundsätzlich nicht machen! Bei Teil c) verstehe ich nicht, was du meinst. Du brauchst hier keine Randverteilungen, weil du nur EINE ZV hast. Welche Werte kann \(X\) annehmen? Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das \(X\) dann genau einen bestimmen Wert annimmt? Das ist dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn man das für jeden möglichen Werten macht. Für \(X=1\) hast du es bereits in a) berechnet. Der Erwartungswert berechnet sich dann wie üblich über die Formel. 

Aufgabe 3: Du brauchst hier gar keine Ableitungen! Die ZV ist lediglich definiert als \(\max(U_1, U _2)\). Verwende die Definition der Verteilungsfunktion. Überlege dir erst einmal, wie man Zeile 1 und Zeile 3 zeigen kann. Das sind Einzeiler, weil klar sein sollten, warum das so ist. Für Zeile 2 dann die Definition. $$F_X(z)=P(X\leq z)=P(\max(U_1, U_2)\leq z)=P(U_1\leq z \cap U_2\leq z)=\dots$$ Nutze die Unabhängigkeit der ZV. Überlege dir auch, warum die zweite Gleichung gilt. 

b) Wie ist denn der Zusammenhang zwischen Verteilungsfunktion und Dichtefunktion?
c) Hier ist der Median gesucht. Das hast du nun ausgelassen. Wie ist er definiert?
d) Na, definiere dir wieder \(Y\colon=3X+1\) und berechne dann \(\mathbb{E}[Y]\). Hier kann man Eigenschaften des Erwartungswertes ausnutzen. Welche gibt es da?

Aufgabe 4: Binomialverteilung. Überlege dir, warum. 


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so weit bin ich schon mal. Es ist doch nicht möglich ein Bild zuzufügen, wenn ich in den bearbeiten Modus gehe. Ich weiß leider nicht woran es liegt, ich leite das mal weiter.

Aufgabe 1: müsste korrekt sein?
Aufgabe 2: a)+b) korrigiert und c) ein paar Überlegungen gemacht, sollte gar nicht so verkehrt sein
Aufgabe 3: a) classic ich mit meinen Grenzen, aber mir ist die Lösung gerade beim Tippen gekommen
\[ \mathbb{P}(max(U_1,U_2) = ... = [x]^z_1[x]^z_1= (z-1)^2 \] 
Aufgabe 3: b) gibt es da einen wichtigeren Zusammenhang als den? und c) war ich jetzt nur zu faul auszurechnen, weil mache mir jetzt erst mal Gedanken zur A4 und melde mich dann erneut.
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A4)

Gesamt 50 Fragen, 10 falsch \( p_R=\frac{4}{5} \ \text{und }\ p_F\frac{1}{5}\) Prüfung 8 aus 50, Bestanden wenn mind. 6 richtig.

a) X ist #{falsch beantworteter Fragen} offensichtlich Binomial, da bin ich gestern auch drauf gekommen, hab es in den notizen gesehen, als ich heute angefangen habe. gestern war es dann nur so spät und habe es wohl nicht mehr gefunden gehabt. Aber dein Tipp hat es mir noch mal bestätigt. Anfangs dachte ich HYP aber war ja offensichtlich Erfolg und Misserfolg mit einer W'keit und mehreren Versuchen.

\( X \sim Bin(50, \frac{1}{5}) \ \ \ \ Bin(n,p) =\mathbb{P}(X=k) = \dbinom{n}{k}p^k\cdot (1-p)^{n-k} \ \ \ \ Bin(n,p) = \mathbb{P}(X \le k)= \sum\limits^{n}_{k=1}\dbinom{n}{k}p^k\cdot (1-p)^{n-k}

\\ \mathbb{P}(X=0) = \frac{4}{5}^{50}
\\ \mathbb{P}(X=1) = 10 \cdot \frac{4}{5}^{49}
\\ \mathbb{P}(X=2) = 49 \cdot \frac{4}{5}^{48} \)

b) \( \mathbb{E}[X]= n\cdot p_R = 50\cdot \frac{4}{5} =40\)

c) W'keit nicht bestehen \( \mathbb{P}(X \le 45) = 1-\mathbb{P}(X \le 5) \Rightarrow \mathbb{P}(X \le 5)= \sum\limits^{5}_{k=1}\dbinom{50}{k}p^k\cdot (1-p)^{50-k}= \mathbb{P}(X=1)+ \mathbb{P}(X=2)+ \mathbb{P}(X=3)+ \mathbb{P}(X=4)+ \mathbb{P}(X=5) \) null nicht?

d)W'keit bestehen, falls erste beide richtig: mit \( p_R = \frac{4}{5} \)
\( \mathbb{P}(2 \le X \le 6) \) ?
  ─   labis 20.07.2021 um 17:21

Erstmal zu deinem Bild:
Bei 2c stimmen deine Wahrscheinlichkeiten nicht. Du hast ja überhaupt nicht die Ausfallwahrscheinlichkeiten der Geräte berücksichtigt. Und der Erwartungswert fehlt.

Der erste Satz bei Aufgabe 3 ist Murks. Zufallsvariablen nehmen Werte und keine Wahrscheinlichkeiten an. Die W'keit, dass \(U_1\leq z\) ist \(P(U_1\leq z)\).

c) stimmt nicht. Für \(x=1\) ist \(F_X(1)=0\). Fehler in der pq-Formel unter der Wurzel.

Rest sieht bei der Aufgabe aber soweit in Ordnung aus.

Zu Aufgabe 4:
a) Hier fehlen aber noch einige Werte. Zudem ist \(n\) nicht 50, da der Student ja keine 50 Fragen beantworten muss. Die Aufgabenstellung enthält an dieser Stelle übrigens einen gewaltigen sprachlichen Fehler. Ich vermute, es sollte heißen, dass der Prüfer aus den Fragen zufällig 8 auswählt, wovon der Student 6 richtig beantworten muss, um zu bestehen.

Damit legst du bei den anderen Aufgaben ebenso die falsche Binomialverteilung zugrunde.

c) Null auch, er kann ja auch alle Fragen richtig haben. ;) Ansatz richtig, aber falsche Verteilung.

d) Nein, du weißt schon, dass er bereits die ersten beiden Fragen richtig beantwortet hat. Dann bleiben noch viele Fragen und wie viele davon darf er höchstens falsch haben?
  ─   cauchy 21.07.2021 um 01:36

danke für deine Rückmeldung! ich hab aktuell nicht mehr so viel Zeit zum tippen, Zettel muss noch fertig werden etc. DANKE dir.   ─   labis vor 5 Tagen, 20 Stunden

Freut mich, dass ich dir helfen konnte. :)   ─   cauchy vor 5 Tagen, 20 Stunden

Falls Samstag nicht klappt, muss ich eben Mitte/ Ende September wieder ran, aber diemal mit mehr Wissen und mehr Zeit :)   ─   labis vor 5 Tagen, 19 Stunden

Na dann auf jeden Fall viel Erfolg!   ─   cauchy vor 5 Tagen, 18 Stunden

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