Beweis konvergent -> beschränkt

Aufrufe: 54     Aktiv: 23.03.2021 um 12:34

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Es geht um diesen Beweis:




Ich kann ihn zwar mittlerweile auswendig, würde ihn aber gerne auch verstehen. Mir ist klar, dass die Idee ist, dass man die Folge a_n in zwei Abschnitte unterteilt: einmal n < n0 und einmal größergleich n0. Für das größergleich verrät uns ja schon die Intuition, dass unsere Folge da nicht "abhauen" kann, weil sie sonst nicht konvergent wäre. Sie muss beim Grenzwert a bleiben. Im Beweis macht man das halt schön mit der nahrhaften 0 (+a - a und dann Dreiecksungleichung). Womit wir bei meiner Frage wären:

wie kommt man auf dieses 1 + |a|, das in C enthalten ist? Von meinem Verständnis ist es klar, dass man C auf das Maximum der Folgenglieder bis eben einschließlich 1 vor n0 setzt. Aber dieses 1 + |a|? Das ist einfach nur auf den Betrag des Grenzwertes 1 addiert? Wieso macht man das? Nur, weil man epsilon = 1 gewählt hat? Das ergibt für mich echt keinen Sinn.
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Diese Schranke \(1+|a|\) ergibt sich direkt im Beweis, nachdem man die Dreiecksungleichung angewendet hat. Wie Du schon sagst folgt sie aus der Wahl von \(\varepsilon=1\). Wenn man mit einem anderen positiven \(\varepsilon\) anfängt, dann ergibt sich entsprechend eine andere Aufteilung der Folge in zwei Abschnitte und eine andere Schranke. Am Besten ist, Du machst das mal selber mit einem anderen \(\varepsilon\). Nur durchs Tun wirst Du die Mechanik des Beweises vollständig verstehen.

Die Schranken, die sich hier ergeben, sind natürlich nicht eindeutig. Im Beweis oben könnte man auch \(M+|a|\) für jede Zahl \(M\ge1\) nehmen. Überprüfe das!

Zur Frage, wie man darauf kommt: Die Intuition und Übung sagt einem, dass man die Folge aufteilen muss, wenn man über einen Beweis nachdenkt. Der erste Abschnitt der Folge ist endlich und somit beschränkt. Für den Schlussteil verwendet man die Konvergenz und fängt einfach an zu rechnen. Die Schranke ergibt sich dann automatisch. Dann fängt man mit dieser Schranke wieder von vorne an und formuliert den endgültigen Beweis aus. So läuft das meistens: Man schreibt nie einen Beweis beim ersten Mal von Vorne gleich sauber und vollständig auf, sondern rechnet erst einmal, bis man weiss, wie es geht und welche Schranken man braucht. Oft braucht es mehrere Anläufe, bis der Beweis fertig ist.
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Ich hab jetzt mal paar Folgen hingemalt, was mir sehr geholfen hat. Mir ist jetzt aber eine neue Frage gekommen: wenn die Folge monoton fallend ist, also zB so https://ibb.co/Q9YWMV5 , dann gilt das C >= |a_n| doch überhaupt nicht?   ─   akimboslice 23.03.2021 um 10:29

Wieso nicht? In dem speziellen Beispiel gilt sogar \(|a_n|\le|a_0|\) für alle \(n\).   ─   slanack 23.03.2021 um 11:19

Also war mein Denkfehler, das "beschränkt" auf eine Beschränktheit zu limitieren. Man will also zeigen, dass sie entweder nach oben oder nach unten beschränkt ist. Danke   ─   akimboslice 23.03.2021 um 12:15

Genau. Welche Schranke man wählt, ist für *diese* Aufgabe irrelevant. Bei anderen Fragestellungen kann es aber durchaus eine Rolle spielen, eine möglichst gute, d.h. "eng anliegende" Schranke zu finden.   ─   slanack 23.03.2021 um 12:34

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