Diese Schranke \(1+|a|\) ergibt sich direkt im Beweis, nachdem man die Dreiecksungleichung angewendet hat. Wie Du schon sagst folgt sie aus der Wahl von \(\varepsilon=1\). Wenn man mit einem anderen positiven \(\varepsilon\) anfängt, dann ergibt sich entsprechend eine andere Aufteilung der Folge in zwei Abschnitte und eine andere Schranke. Am Besten ist, Du machst das mal selber mit einem anderen \(\varepsilon\). Nur durchs Tun wirst Du die Mechanik des Beweises vollständig verstehen.

Die Schranken, die sich hier ergeben, sind natürlich nicht eindeutig. Im Beweis oben könnte man auch \(M+|a|\) für jede Zahl \(M\ge1\) nehmen. Überprüfe das!

Zur Frage, wie man darauf kommt: Die Intuition und Übung sagt einem, dass man die Folge aufteilen muss, wenn man über einen Beweis nachdenkt. Der erste Abschnitt der Folge ist endlich und somit beschränkt. Für den Schlussteil verwendet man die Konvergenz und fängt einfach an zu rechnen. Die Schranke ergibt sich dann automatisch. Dann fängt man mit dieser Schranke wieder von vorne an und formuliert den endgültigen Beweis aus. So läuft das meistens: Man schreibt nie einen Beweis beim ersten Mal von Vorne gleich sauber und vollständig auf, sondern rechnet erst einmal, bis man weiss, wie es geht und welche Schranken man braucht. Oft braucht es mehrere Anläufe, bis der Beweis fertig ist.