Partielle Ordnung Beweisen (Brauche einen Tipp)

Aufrufe: 1713     Aktiv: 20.11.2020 um 08:17
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Ich muss beweissen, dass Folgendes eine partielle Ordnung ist:

R := {(B, C) ∈ P × P : B ⊆ C} 

Meine Idee ist: diese Relation  B ⊆ C auf drei Fällen zu kontrolieren: Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität. Allerdings, habe ich gar keine Ahnung wie man anfängt, weil in der Aufgabe nicht angegeben ist, ob b=(a,b) oder c=(c,d) ist. 

DIe Aufgabe sagt aber dass, 

 R ⊆ P × P antisymmetrisch, falls aRb ∧ bRa ⇒ a = b fur alle a, b ∈ P. 

Bedeutet das, dass b=(a,b) und c=(a,b) ist??..

Ich brauche einen Tipp! 

Danke im Voraus!

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Student, Punkte: 67

 
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Du hast da ein Missverständnis: \(A\) und \(B\) sind Elemente von \(P\) und keine Paare von Elementen. Antisymmetrie würde also z.B. bedeuten, dass für alle \(A,B\in P\) gilt: \(A\subseteq B\wedge B\subseteq A\Rightarrow A=B\).

Beweise mit dieser Notation alle drei geforderten Eigenschaften.

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Darf ich aber mit dieser Notation beginnen? Die Aufgabe sagt nicht, dass diese Relation antisymmetrisch ist, sie gibt nur die Definition der Antisymmetrie an.
  ─   alexandrakek 17.11.2020 um 20:37
Was ich hingeschrieben habe, war ein Beispiel für die *Notation*. Die *Aussage* musst du natürlich beweisen. Ist der Unterschied zwischen Notation und Aussage klar? Du hast ja schon ganz richtig gesagt, dass die drei Eigenschaften gezeigt werden müssen; dein Problem war, dass Du die Menge \(P\), auf der die Relation definiert ist, mit der Menge \(P\times P\), von der die Relation eine Teilmenge ist, verwechselt hast.   ─   slanack 18.11.2020 um 14:54
Okay... Und was wäre mein erster Schritt im Beweis?   ─   alexandrakek 18.11.2020 um 16:26
Ich zeige Dir Reflexivität: Für \(A\in P\) ist \(A\subseteq A\) zu zeigen. Dies ist trivialerweise erfüllt. Also ist die Relation reflexiv. Fertig!   ─   slanack 18.11.2020 um 16:33
Achsooooooo.. Alles klar. Aber wie werde ich die Trasitivität beweisen, wenn es nur B und C gibt?! Hier ist noch eine dritte Teilmenge nötig... Bedeutet das, dass es keine partielle Ordnung ist?! Oder...
Die Aufgabe sagt, dass P die Menge aller Teilmengen von A ist. Soll ich dann A als dritte Teilmenge für die Transitivität nehmen?!   ─   alexandrakek 18.11.2020 um 17:53
Dass \(A\) die Grundmenge ist, hast Du ja garnicht erwähnt! Dann ist mein Beweis der Reflexivität oben falsch; ersetze \(A\) durch \(B\).   ─   slanack 18.11.2020 um 18:07
Es gibt noch ein Missverständnis: Es werden alle Teilmengen von \(A\) betrachtet, nicht nur zwei feste Teilmengen \(B\) und \(C\). Fange den Beweis der Transitivität so an: Seien \(B,C,D\in P\) mit \(B\subseteq C\) und \(C\subseteq D\) gegeben... Weißt du, wie es weiter geht?   ─   slanack 18.11.2020 um 18:09
Tschuldigung, ich sollte die komplette Aufgabe noch am Anfang reinschreiben. Aber, dass man A durch B ersetzten soll, habe ich schon gecheckt.
Leider weiss ich nicht, da ich nicht verstehe woher D kommt.
Alle Teilmengen A sind in P und (B,C) ist ein geordnetes Paar (richtig?) aus der Relation PxP. Gleichzeitig sind B und C auch Teilmengen. (richtig?) Warum sind sie keine feste Teilmengen?
(Ich entschuldige mich in Voraus, falls ich hier etwas falsch geschrieben habe.)   ─   alexandrakek 18.11.2020 um 18:23
\(P\) enthält doch *alle* Teilmengen von \(A\), nicht nur zwei. Die relation \(R\) wird als Teilmenge von \(P\times P\) definiert, indem man alle geordneten Paare \((B,C)\in P\times P\) auswählt, die eine bestimmte Bedingung erfüllen, nämlich \(B\subseteq C\). Das ist die Bedeutung der Schreibweise in der Definition von \(R\). Hier werden nicht nur *bestimmte* Mengen \(B,C\) betrachtet. Schau Dir noch einmal andere Beispiele für die Mengenschreibweise \(\{\text{text 1}:\text{text 2}\}\) an.
Um die Transitivität zu zeigen, musst Du Dir also drei beliebige Elemente von \(P\) vorgeben, so wie ich oben angefangen habe.   ─   slanack 18.11.2020 um 18:41
Okay, das habe ich verstanden. Könnte ich um ein letzten Tipp bieten, zum zweiten Schritt, mir fällt es nicht ein was daraus folgt..   ─   alexandrakek 18.11.2020 um 19:10
Meinst Du zur Antisymmetrie? Ähnlich wie bei der Reflexivität gibt es nicht wirklich etwas zu beweisen, es kommt praktisch nur darauf an, die richtige Formulierung zu finden. Den Rahmen habe ich ja in meiner Antwort gesetzt, Du musst nur kurz "\(\Rightarrow\)" dort erklären.   ─   slanack 18.11.2020 um 21:11
Vielen Dank, aber ich meinte zur Transitivität. Die Antisymmetrie habe ich geschafft, dank ihren Tipp zur Reflexivität.   ─   alexandrakek 19.11.2020 um 08:42
Ah, ok. Du willst \(B\subseteq D\) zeigen, wenn \(B\subseteq C\) und \(C\subseteq D\) gilt. Gehe wie immer vor: Sei \(x\in B\) ... Es folgt \(x\in D\). Also gilt \(B\subseteq D\). Ergänze jetzt den ausgelassenen Schritt mit Hilfe der Voraussetzung an die Mengen \(B,C,D\).   ─   slanack 19.11.2020 um 10:47
Oh! So habe ich auch die Antisymmetrie bewiesen, mit ''sei x∈B''. Ich habe meine Lösung als Bild hochgeladen, finden Sie, dass ich hier auch schon fertig bin?   ─   alexandrakek 19.11.2020 um 15:24
Ja, das sieht sehr gut aus! Für die Klarheit würde ich noch ein paar kleine Änderungen vorschlagen: In der vorletzten und letzten Zeile jeweils "wenn" durch "wegen" ersetzen. Und in der letzten Zeile das Komma durch \(\Rightarrow\) ersetzen.   ─   slanack 19.11.2020 um 18:11
Herzlichen, herzlichen Dank für Ihre Hilfe!!!   ─   alexandrakek 20.11.2020 um 08:17

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