Grenzwert von zwei folgen bestimmen ?

Aufrufe: 242     Aktiv: 22.11.2023 um 10:47

0


Ich kenne mich schon etwas mit Grenzwerten von Folgen aus, jedoch ist die Aufgabe viel schwieriger als die bisher behandelten Beispiele. Bei allen meinen Versuchen die Aufgabe zu lösen bin ich bisher immer wieder gescheitert.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand beim Lösen der Aufgabe helfen könnte.

Schonmal vielen dank.

Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 14

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
1
Der Beweis in meiner 1. Antwort geht auch wesentlich einfacher - bin soeben per Zufall drüber gestolpert: Die Folge \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) konvergiert gegen e. Drum konvergiert jede konvergente Teilfolge ebenfalls gegen e, also z.B. die Teilfolge \(\left(1+\frac{1}{qn}\right)^{qn}\). Also gilt:
\(\displaystyle e\;=\;\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{qn}\right)^{qn} \;=\;\left(\lim_{n\rightarrow n} \left(1+\frac{1}{qn}\right)^n\right)^q \;=\; e^q\).
Fertig.



Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.25K

 

1
Aha $\mathrm{e} =\mathrm{e}^q$...   ─   cauchy 21.11.2023 um 00:26

Kommentar schreiben

1

Die Aussage
  \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{q}{n}\right)^n = e^q\)
für \(q\in\mathbb{N}\) könnte man wie folgt mit vollständiger Induktion beweisen:

Der Induktionsanfang "q=1" folgt aus dem Hinweis.

Der Induktionsschluss "q=>q+1" geht skizzenhaft so:
Man zeigt zunächst \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{q}{n^2}\right)^n = 1\;\;\;(1)\).
Das geht über die binomische Formel:
\(\displaystyle \left(\frac{q}{n^2}+1\right)^n = \sum_{k=0}^n \underbrace{\binom{n}{k} \frac{q^k}{n^{2k}}}_{a_k}\).
Dann kann man zeigen: \(a_k\) fällt mind. um den Faktor n, wenn k um eins anwächst, d.h.
\(\displaystyle a_{k+1} \le \frac{a_k}{n}\).
Also ist \(\displaystyle a_k \le \frac{1}{n^k} a_0 = \frac{1}{n^k}\).
Also ist \(\displaystyle \left(\frac{q}{n^2}+1\right)^n= \sum_{k=0}^n a_k \;\le\; \sum_{k=0}^n \frac{1}{n^k}\;\stackrel{\mbox{geometrische Reihe}}=\;\;\frac{1-(1/n)^{n+1}}{1-(1/n)}
\;\stackrel{n\rightarrow\infty}\rightarrow\; 1 \).
Es folgt (1).

Dann kann man zeigen:
\(\displaystyle \left(1+\frac{q+1}{n}\right)\;\le\left(1+\frac{q}{n}\right) \left(1+\frac{1}{n}\right) \;\le\left(1+\frac{q+1}{n}\right)\left(1+\frac{q}{n^2}\right) \)
Diese Umgleichung hoch n genommen und den Limes \(n\rightarrow\infty\) genommen liefert:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{q+1}{n}\right)^n
  \;\le\;\lim_{n\rightarrow\infty} \underbrace{\left(1+\frac{q}{n}\right)^n}_{\large\rightarrow e^q} 
          \underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right) ^n} _{\large\rightarrow e}
  \;\le\; \lim_{n\rightarrow\infty}  
           \left(1+\frac{q+1}{n}\right)^n 
           \underbrace{\left(1+\frac{q}{n^2}\right)^n}_{\large\rightarrow 1} \)
Also:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{q+1}{n}\right)^n
  \;\le\;e^{q+1}
  \;\le\; \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{q+1}{n}\right)^n  \)
Mithin:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{q+1}{n}\right)^n=e^{q+1}\)
Daraus folgt der Induktionsschluss.

 

 

Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.25K

 

Vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort. Jetzt wo ich es sehe ist es gar nicht so schwer wie ich dachte.

Hast du vielleicht auch einen Ansatz für lim (n^q)/q^n) ? Ich habe schon versucht den Term umzustellen und dann einzelne Glieder zu betrachten. Aber ich bekomme dann für den Limes jedesmal etwas raus wie 0 mal unendlich, und das ist ja leider nicht definiert oder ?
  ─   cd 20.11.2023 um 15:29

Wenn q>1, dann wächst der Nenner von \(n^q/q^n\) exponentiell, der Zähler wie ein Polynom. Da exponentielles Wachtum stärker ist als polynominales, geht \(a_n=n^q/q^n\) gegen null.

Formal kann man das so beweisen: Es ist \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{q} \left(\frac{n+1}{n}\right)^q\; \stackrel{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}\;
\frac{1}{q} \).
Sei nun f so, dass \(1/q\lt f \lt1\). Ab einen bestimmten N gilt für alle n: \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \le f\), also \(a_{n+1}\lt f a_n\), also \(a_n\le \f^n \frac{a_N}{f^N} \;\stackrel{n\rightarrow\infty}\rightarrow\; 0\).

Wenn q=1, dann ist der Limes offensichtlich unendlich.

Wenn q=0, dann hat man Division durch 0.

Mit ähnlichen Argumenten kann man die Fälle
- 0- (-1)- q=-1
- q<-1
behandeln.

Damit hat man bereits \(q\in\mathbb{Q}\) behandelt.
  ─   m.simon.539 20.11.2023 um 23:34

Vielen Dank, dass du dir die Zeit nimmst um meine Fragen zu beantworten. Ich habe den Beweis grundlegend verstanden, jedoch bin ich mir noch nicht sicher, wie du von an+1 <= f*an auf an <= f^n *aN kommst.   ─   cd 21.11.2023 um 13:10

Da war noch ein Fehler in meiner Ungleichung - den habe ich korrigiert.
Eigenlich müsste man das mit vollständiger Induktion beweisen:
Induktionsbehauptung: \(a_n\le f^n \frac{a_N}{f_N}\).
Induktionsanfang: n=N. Gilt offensichtlich.
Induktionsvoraussetzung: \(\displaystyle a_n\le f^n \frac{a_N}{f_N}\)
Induktionsschluss: \(n\rightarrow n+1\): \(\displaystyle a_{n+1} \le f a_n \le f f^n \frac{a_N}{f_N} = f^{n+1} \frac{a_N}{f_N}\).
  ─   m.simon.539 22.11.2023 um 10:47

Kommentar schreiben