Hallo,

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Es lässt sich auch nicht jede Funktion in eine Fourier-Reihe überführen. Siehe dazu Satz von Fourier.

Betrachten wir nun die Trigonometrischen Polynome und nehmen an, dass unsere Funktion die Periode \(2\pi\) besitzt. (Da für Funktionen mit Periode \(T\) gilt, dass \(f(x):=\widetilde{f}(\frac{T}{2\pi}x)\) \(2\pi\) Periodisch ist)

Jetzt zu deiner Frage "kann man die Funktionen immer (mithilfe der eulerschen Identität?) in die  Schreibweise mit e umschreiben?"

kurze Antwort, Ja. Starten wir mit \(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx) \right )\)

Unter der Verwendung von \(c_{k}=\frac{1}{2}(a_{k}-ib_{k});\ c_{-k}=\frac{1}{2}(a_{k}+ib_{k})\) und mit \(b_{0}=0\) folgt aus der eulerschen Formel die äquivalente Darstellung

\(f(x)=\sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}\). Übrigens gilt auch  \(a_{k}=2\cdot Re(c_{k})=2\cdot Re(c_{-k})\) und \(b_{k}=-2\cdot Im(c_{k})=2\cdot Im(c_{-k})\)

 

Nun zu der Aufgabe. Recht nützlich wäre es, hier die Funktion zu vereinfachen. So gilt unter der Verwendung der Additionstheoreme, dass \(2sin(x)cos(x)=sin(2x)\).

Die Koeffizienten könnte man durch integrieren bestimmen. Für \(2\pi\) Periodische Funktionen lautet die Formel für die komplexen Koeffizienten:

\(c_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx\). (Man kann übrigens auch ein anderes Intervall der Länge \(2\pi\) nehmen)

Man kann sich aber auch weiter überlegen, dass gilt: \(sin(2x)=\frac{1}{2}ie^{-2ix}-\frac{1}{2}ie^{2ix}\)

Nun ist die Periode unserer Funktion \(\pi\). Somit lautet unsere Darstellung \( f(x)=\sum_{k=-2}^{2}c_{k}e^{ik2x}\).

Wodurch man nun die Koeffizienten ablesen kann. Wenn ich mich auf die Schnelle nicht vertippt und/oder verrechnet habe, komme ich auf die Koeffizienten

\(c_{-1}=\frac{1}{2}i\) und \(c_{1}=-\frac{1}{2}i\) (Sonst Null).

 

Ich hoffe, es war verständlich.

 

Gruß,

Gauß

 

PS:

*Edit*: Ich habe aus Gewohnheit immer die Periode aus unser Ursprünglichen Funktion genommen. Die Aufgabe ist aber bestimmt darauf ausgelegt, dass man ein Polynom der Periode \(2\pi\) am Ende hat (was man aus Notationsgründen meist macht). Dementsprechend erhält man dann auch andere Koeffizienten (die du richtig bestimmt hast). Da du es ja in deinem Beitrag richtig gemacht hast, bin ich jetzt mal zu faul diesen Post zu überarbeiten :)

Und Achtung: Die Potenzgesetze gelten i.A. nicht im komplexen. So ist beispielsweise \((z^n)^m=z^{nm}\) nur für ganzzahlige Exponenten gültig.

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Deine beschriebene Vorgehensweise hat mir sehr weiter geholfen. Ich hätte jetzt nicht direkt gesehen, dass man das mit den Additionstheoremen vereinfachen kann. Wenn ich das richtig sehe, ist dir ein kleiner Flüchtigkeitsfehler unterlaufen. Es müssten die Koeffizienen c-2 sowie c2 sein. Da ich gerade dabei bin Altklausuren zu rechnen, habe ich allerhand solcher Aufgaben :D    Die Aufgabenstellung ist immer die Koeffizienten zu berechnen. Von Funktionen wie:

• (sin t - cos t)^2
• -3 sin^2 (t)
• 4 + 2cos(3t) - 2i sin(3t)
• (cos (2t) + i sin(2t))^2

Wenn ich zum Beispiel die Funktion f(t)= (sin t - cos t)^2 betrachte, bin ich etwas ratlos . Das wäre soweit mein Ansatz. Ich bezweifle jedoch, dass die Umformungen  bzw. das Ergebnis richtig ist. Viele Grüße! PS: Das war übringens der Schluss der Aufgabe  

Hallo,

"Wenn ich das richtig sehe, ist dir ein kleiner Flüchtigkeitsfehler unterlaufen. Es müssten die Koeffizienen c-2 sowie c2 sein."

Das kann natürlich immer passieren.  Aus Gewohnheit wähle ich meist die selbe Periode, daher der Unterscheid. Beim überführen in ein Polynom mit Periode \(2\pi\) hast du recht, da sind es andere Koeffizienten (bzw resultiert daraus unser Indizeunterschied). Ich tippe mal, dass deine Darstellung die ist, die auch von der Aufgabe vorgesehen ist.

Wie du richtig erkannt hast, gilt: \(f(x)=\left ( sin(x)-cos(x) \right )^2=1-\frac{1}{2}ie^{-2ix}+\frac{1}{2}ie^{2ix}\). Deine Koeffizienten sind auf den ersten (seitlichen :P ) Blick auch richtig (bei Periode \(2\pi\)).

 

Da es sich hierbei ja um Klausuraufgaben handelt, werden die Umformungen alle überschaubar bleiben. Also man sollte die üblichen "Tricks", d.h. Additionstheoreme, Trig.-Pythagoras,etc. pp. im Hinterkopf haben.

Da man ja auch nicht ewig Zeit hat, ist es wohl am klügsten deine Funktion über die e-Fkt. darzustellen um an die gesuchten Koeffizienten zu kommen.

 

Die Berechnung der anderen Koeffizienten steht ja in meinem ersten Beitrag.

 

Ist diese Frage damit geklärt, oder hast du noch Anschlussfragen?

 

Gruß,

Gauß

Hallo, Frage ist geklärt. Danke nochmals !