Hallo,
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Es lässt sich auch nicht jede Funktion in eine Fourier-Reihe überführen. Siehe dazu Satz von Fourier.
Betrachten wir nun die Trigonometrischen Polynome und nehmen an, dass unsere Funktion die Periode \(2\pi\) besitzt. (Da für Funktionen mit Periode \(T\) gilt, dass \(f(x):=\widetilde{f}(\frac{T}{2\pi}x)\) \(2\pi\) Periodisch ist)
Jetzt zu deiner Frage "kann man die Funktionen immer (mithilfe der eulerschen Identität?) in die Schreibweise mit e umschreiben?"
kurze Antwort, Ja. Starten wir mit \(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx) \right )\)
Unter der Verwendung von \(c_{k}=\frac{1}{2}(a_{k}-ib_{k});\ c_{-k}=\frac{1}{2}(a_{k}+ib_{k})\) und mit \(b_{0}=0\) folgt aus der eulerschen Formel die äquivalente Darstellung
\(f(x)=\sum_{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}\). Übrigens gilt auch \(a_{k}=2\cdot Re(c_{k})=2\cdot Re(c_{-k})\) und \(b_{k}=-2\cdot Im(c_{k})=2\cdot Im(c_{-k})\)
Nun zu der Aufgabe. Recht nützlich wäre es, hier die Funktion zu vereinfachen. So gilt unter der Verwendung der Additionstheoreme, dass \(2sin(x)cos(x)=sin(2x)\).
Die Koeffizienten könnte man durch integrieren bestimmen. Für \(2\pi\) Periodische Funktionen lautet die Formel für die komplexen Koeffizienten:
\(c_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx\). (Man kann übrigens auch ein anderes Intervall der Länge \(2\pi\) nehmen)
Man kann sich aber auch weiter überlegen, dass gilt: \(sin(2x)=\frac{1}{2}ie^{-2ix}-\frac{1}{2}ie^{2ix}\)
Nun ist die Periode unserer Funktion \(\pi\). Somit lautet unsere Darstellung \( f(x)=\sum_{k=-2}^{2}c_{k}e^{ik2x}\).
Wodurch man nun die Koeffizienten ablesen kann. Wenn ich mich auf die Schnelle nicht vertippt und/oder verrechnet habe, komme ich auf die Koeffizienten
\(c_{-1}=\frac{1}{2}i\) und \(c_{1}=-\frac{1}{2}i\) (Sonst Null).
Ich hoffe, es war verständlich.
Gruß,
Gauß
PS:
*Edit*: Ich habe aus Gewohnheit immer die Periode aus unser Ursprünglichen Funktion genommen. Die Aufgabe ist aber bestimmt darauf ausgelegt, dass man ein Polynom der Periode \(2\pi\) am Ende hat (was man aus Notationsgründen meist macht). Dementsprechend erhält man dann auch andere Koeffizienten (die du richtig bestimmt hast). Da du es ja in deinem Beitrag richtig gemacht hast, bin ich jetzt mal zu faul diesen Post zu überarbeiten :)
Und Achtung: Die Potenzgesetze gelten i.A. nicht im komplexen. So ist beispielsweise \((z^n)^m=z^{nm}\) nur für ganzzahlige Exponenten gültig.
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