Binomialkoeffizienten

Aufrufe: 26     Aktiv: 21.04.2021 um 16:13

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Hallo, bräuchte etwas Hilfe bei dieser Angabe

Schonmal Danke im vorraus :)

Fg Lara
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Man kann sich zunächst überlegen, dass \( \frac{1}{k+1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{1}{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \) ist.
Damit erhält man dann
\( \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) \( = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \) \( = \frac{-1}{n+1} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \cdot (-1)^{k+1} \) \( = \frac{-1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \cdot (-1)^k \) \( = \frac{-1}{n+1} \left( -1 + \sum_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \cdot (-1)^k \right) \) \( = \frac{-1}{n+1} \left( -1 + \sum_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \cdot (-1)^k \cdot 1^{n+1-k} \right) \) \( = \frac{-1}{n+1} \left( -1 + (-1+1)^{n+1} \right) \) \( = \frac{-1}{n+1} \left( -1 \right) \) \( = \frac{1}{n+1} \)
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