Der Satz über implizierte Funktionen mit Nebenbedingung

Erste Frage Aufrufe: 134     Aktiv: 16.12.2023 um 22:26

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Hallo liebe Leute, 
ich habe eine Geweinnfunktion: Pi(x,y) = py-wx  und ich habe eine Nebenbedingung : y=f(x) . Wie kann ich mit Hilfe der implizierten Funktionen die Ableitung dx/dp finden? 

max Pi(x,y) = py-wx u. d. Nb. y = f(x).

ich habe den Satz verwendet: dx/dp = - (dpi/dp) / (dpi/dx)

ich habe leider nicht das gleiche Ergebniss wie bei Musterlösung: w/ p^2f" (x) .

Könnt ihr mir bitte weiter helfen ? wie kommt man zu demselben Ergebnis 
Vielen Dank im Voraus

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Punkte: 10

 

Diese Aufgabe verwirrt mich. Hier soll was unter Nebenbedingung maximiert werden, dafür aber sind implizite Funktionen ungeeignet.
Ich sehe auch nirgendwo eine implizite Funktion. Da nach der Ableitung dx/dp gefragt wird, müsste x diese implizite Funktion sein. Die aber hängt von p ab. p taucht aber nirgendwo als Funktionsargument auf.
Kannst Du uns die komplette Aufgabe zur Verfügung stellen?
  ─   m.simon.539 14.12.2023 um 18:56

Hey Simon
Die Aufgabe war genau wie ich da oben geschrieben habe. Danke dir für den Versuch und Brainstorming
  ─   user5265b2 16.12.2023 um 22:25
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Der Satz von der impliziten Funktion liefert das Folgende:

Sei \( F \) eine stetig differenzierbare Funktion. Ist \( F(x,p)=0 \) mit \( \frac{\partial F}{\partial x}(x,p) \neq 0 \), dann lässt sich \( x \) (lokal) als Funktion von \( p \) auffassen und es gilt
\( \frac{d x}{d p}(x,p) = - \frac{\frac{\partial F}{\partial p}(x,p)}{\frac{\partial F}{\partial x}(x,p)} \).

Für die Aufgabe bedeutet das:

Wir setzen die Nebenbedingung in die Gewinnfunktion ein und stellen die Bedingung erster Ordnung auf. Wir leiten also die Funktion \( pf(x) - wx \) nach \( x \) ab und setzen gleich Null. Es ergibt sich \( pf^\prime(x) - w = 0 \).

Es ist nun \( F(x,p) = pf^\prime(x)-w \) eine stetig differenzierbare Funktion. Da \( F(x,p) = 0 \) und \( \frac{\partial F}{\partial x}(x,p) = pf^{\prime \prime}(x) \neq 0 \) ist, lässt sich \( x \) (lokal) als Funktion von \( p \) auffassen und es gilt

\( \frac{d x}{d p}(x,p) \) \( = - \frac{\frac{\partial F}{\partial p}(x,p)}{\frac{\partial F}{\partial x}(x,p)} \) \( = - \frac{f^\prime(x)}{p f^{\prime \prime}(x)} \) \( = - \frac{\frac{F(x,p)+w}{p}}{p f^{\prime \prime}(x)} \) \( = - \frac{\frac{w}{p}}{p f^{\prime \prime}(x)} \) \( = - \frac{w}{p^2 f^{\prime \prime}(x)} \).

Bis auf das Vorzeichen entspricht das dem, was du als Musterlösung hingeschrieben hast.
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Danke, dass Du die Puzzleteile zusammengekriegt hast.   ─   m.simon.539 16.12.2023 um 02:34

Danke dir für die gute Erklärung. Das hat mir sehr gut geholfen   ─   user5265b2 16.12.2023 um 22:26

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