Sei \( F \) eine stetig differenzierbare Funktion. Ist \( F(x,p)=0 \) mit \( \frac{\partial F}{\partial x}(x,p) \neq 0 \), dann lässt sich \( x \) (lokal) als Funktion von \( p \) auffassen und es gilt
\( \frac{d x}{d p}(x,p) = - \frac{\frac{\partial F}{\partial p}(x,p)}{\frac{\partial F}{\partial x}(x,p)} \).
Für die Aufgabe bedeutet das:
Wir setzen die Nebenbedingung in die Gewinnfunktion ein und stellen die Bedingung erster Ordnung auf. Wir leiten also die Funktion \( pf(x) - wx \) nach \( x \) ab und setzen gleich Null. Es ergibt sich \( pf^\prime(x) - w = 0 \).
Es ist nun \( F(x,p) = pf^\prime(x)-w \) eine stetig differenzierbare Funktion. Da \( F(x,p) = 0 \) und \( \frac{\partial F}{\partial x}(x,p) = pf^{\prime \prime}(x) \neq 0 \) ist, lässt sich \( x \) (lokal) als Funktion von \( p \) auffassen und es gilt
\( \frac{d x}{d p}(x,p) \) \( = - \frac{\frac{\partial F}{\partial p}(x,p)}{\frac{\partial F}{\partial x}(x,p)} \) \( = - \frac{f^\prime(x)}{p f^{\prime \prime}(x)} \) \( = - \frac{\frac{F(x,p)+w}{p}}{p f^{\prime \prime}(x)} \) \( = - \frac{\frac{w}{p}}{p f^{\prime \prime}(x)} \) \( = - \frac{w}{p^2 f^{\prime \prime}(x)} \).
Bis auf das Vorzeichen entspricht das dem, was du als Musterlösung hingeschrieben hast.
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Ich sehe auch nirgendwo eine implizite Funktion. Da nach der Ableitung dx/dp gefragt wird, müsste x diese implizite Funktion sein. Die aber hängt von p ab. p taucht aber nirgendwo als Funktionsargument auf.
Kannst Du uns die komplette Aufgabe zur Verfügung stellen? ─ m.simon.539 14.12.2023 um 18:56