Ich versuche den Baum mal durch Spiegelstriche teilweise darzustellen. In diesem Baum kommen Entscheidungen von A und auch Wahrscheinlichkeiten vor.
Das Tripel $(\{A, B\}, A, 2)$ soll heißen: A und B leben noch, A darf schießen, und es ist die 2. Runde.
$A \rightarrow B$ soll heißen: A schießt auf B.
Der Baum sieht dann so aus:

$(\{A, B, C\}, A, 1)$
- $A \rightarrow B$
-- P(A trifft)=0,5: $(\{A, C\}, C, 1)$
--- $C \rightarrow A$
---- P(C trifft)=1. $(\{C\}, C, 1)$. Endpunkt. Akkumulierte W.: 0,5
-- P(A trifft nicht)=0,5. $(\{A, B, C\}, B, 1)$
--- $B \rightarrow C$
---- P(B trifft)=0,8: $(\{A, B\}, A, 2)$
        ...
---- P(B trifft nicht)=0,2: $(\{A, B, C\}, C, 1)$
        ...
- $A \rightarrow C$
-- P(A trifft)=0,5. $(\{A, B\}, B, 1)$
--- $B \rightarrow A$
---- P(B trifft)=0,8. $(\{B\}, B, 2)$ Endpunkt. Akkumulierte W: 0,4
---- P(B trifft nicht)=0,2. $(\{A, B\}, A, 2)$
        ...
-- P(A trifft nicht)=0,5. $(\{A, B, C\}, C, 1)$
     ...

Der Baum ufert ziemlich aus. Es ist deswegen schlauer, sich sich alle möglichen Zuständen Z die Wahrscheinlichkeiten
  $P_Z(A\, \mbox{überlebt}), P_Z(B\, \mbox{überlebt}), P_Z(C\, \mbox{überlebt})$
zu berechen. Dabei macht man die Annahme, dass A sich immer optimal entscheidet.

Hierbei kann man das Pferd von hinten aufzäumen:
Z.B. ist für $Z=(\{A\}, A, 2)$ das Duell entschieden. Daher ist
  $P_Z(A\,\mbox{überlebt}) = 1$
  $P_Z(B\,\mbox{überlebt}) = 0$
  $P_Z(C\,\mbox{überlebt}) = 0$

Für $Z=(\{A,C\}, C, 3)$ ist das Duell beendet. Daher ist
  $P_Z(A\, \mbox{überlebt}) = 1$
  $P_Z(B\,\mbox{überlebt}) = 0$
  $P_Z(C\,\mbox{überlebt}) = 1$

Dann kann man die anderen Wahrscheinlichkeiten aufbauen.
Beispiel: Bei $Z=(\{A,B\}, B, 2)$ schießt B auf A, mit den Ausgängen

• B trifft. Dann landet man bei \(Z_1 = ({B\}, B, 3\)
• B trifft nicht . Dann landet man bei $Z_2 = (\{A,B\}, A, 3$

Daraus folgt für alle Spieler X: $P_Z(X\,\mbox{überlebt}) = 0,8 \cdot P_{Z_1}(X\,\mbox{überlebt}) + 0,2 \cdot P_{Z_2}(X\,\mbox{überlebt})$.

Schwieriger wird's, wenn A eine Wahl hat, auf wen er schießen darf. Bei $Z=(\{A,B,C\}, A, 2)$ muss man zwei Fälle unterscheiden.
Fall 1: A schießt auf B. Dann gibt es die Fälle

• A trifft. Dann landet man bei $Z_1 = (\{A,C\}, C, 2)$
• A trifft nicht . Dann landet man bei $Z_2 = (\{A,B,C\}, B, 2)$

Dann ist die W., dass A überlebt: $p_1 = 0,5 \cdot P_{Z_1}(A\,\mbox{überlebt}) + 0,5 \cdot P_{Z_2}(A\,\mbox{überlebt})$.

Fall 2: A schießt auf C. Dann gibt es die Fälle

• A trifft. Dann landet man bei $Z_3 = (\{A,B\}, B, 2)$
• A trifft nicht . Dann landet man bei $Z_2 = (\{A,B,C\}, B, 2)$

Dann ist die W., dass A überlebt: $p_2 = 0,5 \cdot P_{Z_3}(A\,\mbox{überlebt}) + 0,5 \cdot P_{Z_2}(A\,\mbox{überlebt})$.

Wenn $p_1<p_2$, dann wird A auf B schießen, ansonsten auf C.
Daraus folgt für alle Spieler X:
  $P_Z(X\,\mbox{überlebt}) = 0,5 \cdot P_{Z_1}(X\,\mbox{überlebt}) + 0,5 \cdot P_{Z_2}(X\,\mbox{überlebt})$, falls $p_1<p_2$
  $P_Z(X\,\mbox{überlebt}) = 0,5 \cdot P_{Z_3}(X\,\mbox{überlebt}) + 0,5 \cdot P_{Z_2}(X\,\mbox{überlebt})$ sonst