Ich versuche den Baum mal durch Spiegelstriche teilweise darzustellen. In diesem Baum kommen Entscheidungen von A und auch Wahrscheinlichkeiten vor.
Das Tripel \((\{A, B\}, A, 2)\) soll heißen: A und B leben noch, A darf schießen, und es ist die 2. Runde.
\(A \rightarrow B\) soll heißen: A schießt auf B.
Der Baum sieht dann so aus:

\((\{A, B, C\}, A, 1)\)
- \(A \rightarrow B\)
-- P(A trifft)=0,5: \((\{A, C\}, C, 1)\)
--- \(C \rightarrow A\)
---- P(C trifft)=1. \((\{C\}, C, 1)\). Endpunkt. Akkumulierte W.: 0,5
-- P(A trifft nicht)=0,5. \((\{A, B, C\}, B, 1)\)
--- \(B \rightarrow C\)
---- P(B trifft)=0,8: \((\{A, B\}, A, 2)\)
        ...
---- P(B trifft nicht)=0,2: \((\{A, B, C\}, C, 1)\)
        ...
- \(A \rightarrow C\)
-- P(A trifft)=0,5. \((\{A, B\}, B, 1)\)
--- \(B \rightarrow A\)
---- P(B trifft)=0,8. \((\{B\}, B, 2)\) Endpunkt. Akkumulierte W: 0,4
---- P(B trifft nicht)=0,2. \((\{A, B\}, A, 2)\)
        ...
-- P(A trifft nicht)=0,5. \((\{A, B, C\}, C, 1)\)
     ...

Der Baum ufert ziemlich aus. Es ist deswegen schlauer, sich sich alle möglichen Zuständen Z die Wahrscheinlichkeiten
  \(P_Z(A\, \mbox{überlebt}), P_Z(B\, \mbox{überlebt}), P_Z(C\, \mbox{überlebt})\)
zu berechen. Dabei macht man die Annahme, dass A sich immer optimal entscheidet.

Hierbei kann man das Pferd von hinten aufzäumen:
Z.B. ist für \(Z=(\{A\}, A, 2)\) das Duell entschieden. Daher ist
  \(P_Z(A\,\mbox{überlebt}) = 1 \)
  \(P_Z(B\,\mbox{überlebt}) = 0 \)
  \(P_Z(C\,\mbox{überlebt}) = 0 \)

Für \(Z=(\{A,C\}, C, 3)\) ist das Duell beendet. Daher ist
  \(P_Z(A\, \mbox{überlebt}) = 1\)
  \(P_Z(B\,\mbox{überlebt}) = 0\)
  \(P_Z(C\,\mbox{überlebt}) = 1\)

Dann kann man die anderen Wahrscheinlichkeiten aufbauen.
Beispiel: Bei \(Z=(\{A,B\}, B, 2)\) schießt B auf A, mit den Ausgängen

• B trifft. Dann landet man bei \(Z_1 = ({B\}, B, 3\)
• B trifft nicht . Dann landet man bei \(Z_2 = (\{A,B\}, A, 3\)

Daraus folgt für alle Spieler X: \(P_Z(X\,\mbox{überlebt}) = 0,8 \cdot P_{Z_1}(X\,\mbox{überlebt}) + 0,2 \cdot P_{Z_2}(X\,\mbox{überlebt}) \).

Schwieriger wird's, wenn A eine Wahl hat, auf wen er schießen darf. Bei \(Z=(\{A,B,C\}, A, 2)\) muss man zwei Fälle unterscheiden.
Fall 1: A schießt auf B. Dann gibt es die Fälle

• A trifft. Dann landet man bei \( Z_1 = (\{A,C\}, C, 2)\)
• A trifft nicht . Dann landet man bei \(Z_2 = (\{A,B,C\}, B, 2)\)

Dann ist die W., dass A überlebt: \(p_1 = 0,5 \cdot P_{Z_1}(A\,\mbox{überlebt}) + 0,5 \cdot P_{Z_2}(A\,\mbox{überlebt}) \).

Fall 2: A schießt auf C. Dann gibt es die Fälle

• A trifft. Dann landet man bei \(Z_3 = (\{A,B\}, B, 2)\)
• A trifft nicht . Dann landet man bei \(Z_2 = (\{A,B,C\}, B, 2)\)

Dann ist die W., dass A überlebt: \(p_2 = 0,5 \cdot P_{Z_3}(A\,\mbox{überlebt}) + 0,5 \cdot P_{Z_2}(A\,\mbox{überlebt}) \).

Wenn \(p_1<p_2\), dann wird A auf B schießen, ansonsten auf C.
Daraus folgt für alle Spieler X:
  \(P_Z(X\,\mbox{überlebt}) = 0,5 \cdot P_{Z_1}(X\,\mbox{überlebt}) + 0,5 \cdot P_{Z_2}(X\,\mbox{überlebt}) \), falls \(p_1<p_2\)
  \(P_Z(X\,\mbox{überlebt}) = 0,5 \cdot P_{Z_3}(X\,\mbox{überlebt}) + 0,5 \cdot P_{Z_2}(X\,\mbox{überlebt}) \) sonst