Permutationen / Zyklen Beweise

Aufrufe: 813     Aktiv: 05.01.2020 um 10:33

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Hallo liebe Community,

ich komme mit b) und c) der folgenden Aufgabe nicht weiter bzw. weiß ich dort nicht wie ich anfangen soll.

c) kann ich insoweit nachvollziehen, dass ich ja eigentlich jede Permutation als eine Verkettung von mehreren Zyklen der Länge 2 schreiben kann, oder? Aber wie zeige ich das formal? b) ist mir leider insgesamt noch nicht ganz klar.

 

Danke und viele Grüße

Lukas

 

Edit:

Dann hätte ich also für c):

Induktionsanfang (l = 2)

\( f = (v_{1} v_{2}) \) gilt (siehe Aufgabenstellung).

Induktionsvorraussetzung (l = n)

\( f_{n} = (v_{1} v_{2}) \circ (v_{2} v_{3}) \circ ... \circ (v_{n-1} v_{n}) \) gilt.

Induktionsbehauptung l = n+1

\( f_{n + 1} = (v_{1} v_{2}) \circ (v_{2} v_{3}) \circ ... \circ (v_{n-1} v_{n}) \circ (v_{n} v_{n+1}) \)

hier kann man die Induktionsvorraussetzung einsetzen, also

\( f_{n + 1} = f_{n} \circ (v_{n} v_{n+1}) \)

 

habe ich damit die Aussage c) korrekt bewiesen?

 

 

 

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Moin!

Teil c) würde ich mit vollständiger Induktion über l beweisen, mit l = 2 als Induktionsanfang.

Und was b) angeht: Es reicht ja zu zeigen, dass \[f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = id \] gilt...

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Softwarearchitekt, Punkte: 115

 

Vielen dank, das hat mir schon sehr geholfen! Könntest du dir nochmal meine Induktion oben ansehen? Ist das so richtig?   ─   lukastimmer 05.01.2020 um 10:33

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