Der Richtungsvektor der Gerade \( g_3 \) muss also die Orthogonalitätsbedingung mit den Richtungsvektoren der anderen beiden Geraden erfüllen. Also muss gelten:

\( (x_1,x_2,x_3) \cdot (2,3,1) = 0 \) und \( (x_1,x_2,x_3) \cdot (-1,2,3) = 0 \).

Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen:

(I) \( 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 0 \)

(II) \( -x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \)

Wenn du versuchst das Gleichungssystem zu lösen, wirst du feststellen, dass du eine Variable frei wählen kannst. Ein möglicher Vektor wäre z.B. \( (1,-1,1) \). Jetzt musst du noch einen Stützvektor der Gerade finden und kannst damit dann deine Geradengleichung für \( g_3 \) aufstellen.

Bei (b) kannst du anhand der beiden Richtungsvektoren von \( g_1 \) und \( g_3 \) die Ebenengleichung aufstellen. Anschließend musst du den Schnittpunkt der Gerade \( g_2 \) mit dieser Ebene bestimmen, in dem du Ebene und Gerade gleichsetzt und das Gleichungssystem löst.