Nullstellen und Wendestellen

Aufrufe: 105     Aktiv: 20.07.2021 um 10:08

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Hallo zusammen, ich soll von folgender Funktion die Null- und Wendestellen berechnen. Ich weiß leider nicht, wie das mit dieser Funktion gehen soll…
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  1. \(f(x)=\int_5^xe^{-at^2}\) hat keine Nullstelle, weil die Funktionswerte für \(e^{-at^2}\) für \(5\leq t\leq x\) immer positiv sind, sodass das Integral (die Summe) darüber nie \(0\) werden kann  
  2. \(f'(x)=e^{-ax^2}\) hat keine Nullstelle, also gibt es keine Extremstelle
  3. \(f''(x)=-2axe^{-ax^2}\) hat eine Nullstelle bei \(x_w=0\), also gibt es dort eine Wendestelle
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Nullstellen: Es gilt \(\exp (-a\, t^2)> 0\) für alle \(t\), damit ist auf jeden Fall auch \(f(x)\ge 0\) für alle \(x\). Beim Integrieren können sich also Flächen unter der x-Achse nicht mit Flächen über der x-Achse verrechnen (wie z.B. beim \(\sin\)), denn die zu integrierende Funktion liegt ja durchweg über der x-Achse. Also: Gibt es überhaupt eine Möglichkeit, dass das Integral =0 wird, also dass \(f(x)=0\) ist? Wenn ja, für welches x?
Wendestellen:
Du kennst ja den Satz \(\int_a^b g(t)\, dt = G(b)-G(a)\), wenn \(G\) eine Stammfunktion zu \(g\) ist, d.h. \(G'=g\).
Nun betrachten wir \(g(t)=\exp (-a\,t^2)\). Angenommen, wir hätten eine Stammfunktion \(G\) zu \(g\) (ja, die gibt es, aber die kann man nicht leicht beschreiben, aber wir brauchen sie hier auch nicht zu kennen). Schreibe \(f(x)\) mit \(G\) um, dann starte die übliche Wendestellen-Rechnung.
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Die einzige Nullstelle wäre ja dann bei x=5 also an der unteren Grenze des Integrals.

Das mit den Wendestellen habe ich leider nicht verstanden. Was meinen sie mit f(x) mit G umschreiben?
  ─   thomas123 20.07.2021 um 08:46

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