Theoretisch reicht es schon zu wissen, dass $\sum_{x=0}^\infty\frac{3^x}{x!}=e^3$ (nicht $e^x$) und daraus kannst du folgern, dass $\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{x!}=0$ gelten muss, denn sonst würde die Reihe nicht konvergieren.

Wenn du aber einen direkten Beweis willlst: Die Idee ist, dass $3^x$ aus $x$ Faktoren besteht, die alle $3$ sind, und $x!$ aus $x$ Faktoren besteht, die immer weiter wachsen. Formal kannst du z.B. mittels vollständiger Induktion zeigen, dass für alle $x\geq 7$ stets $0<\frac{3^x}{x!}<2^{7-x}$ gilt, daraus folgt sofort, dass der Grenzwert $0$ ist.