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Ich weiß, dass die Partialsumme von (3^x)/(x!) -> e^x ergibt, aber wie kann ich in dem notwendigen Kriterium zeigen, dass der Grenzwert von (3^x)/(x!)->0 ist, wenn x gegen Unendlich geht, logischerweise?
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Student, Punkte: 17

 
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Theoretisch reicht es schon zu wissen, dass $\sum_{x=0}^\infty\frac{3^x}{x!}=e^3$ (nicht $e^x$) und daraus kannst du folgern, dass $\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{x!}=0$ gelten muss, denn sonst würde die Reihe nicht konvergieren.

Wenn du aber einen direkten Beweis willlst: Die Idee ist, dass $3^x$ aus $x$ Faktoren besteht, die alle $3$ sind, und $x!$ aus $x$ Faktoren besteht, die immer weiter wachsen. Formal kannst du z.B. mittels vollständiger Induktion zeigen, dass für alle $x\geq 7$ stets $0<\frac{3^x}{x!}<2^{7-x}$ gilt, daraus folgt sofort, dass der Grenzwert $0$ ist.
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Wie genau bist du auf die Ungleichung gekommen?   ─   vic 14.06.2021 um 16:33

Die $7$ kommt daher, dass $x=7$ die kleinste Zahl mit $x!>3^x$ ist, und für $x\geq 7$ kann man im Induktionsschritt locker $\frac3x$ mit $\frac12$ abschätzen.   ─   stal 14.06.2021 um 16:35

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