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Sei f C^(1) (R) konvex, das heißt für alle x,y Rund t [0,1] gilt
f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y),
sowie streng monoton wachsend und sei
x* Rmit f(x*) = 0.
Zeigen Sie,
dass das Newton-Verfahren für jeden Startwert x0 Rkonvergiert.

Ich habe schon für den Startwert x0>x* gezeigt, dass das Verfahren konvergiert.
Nun muss ich noch zeigen, dass es für x0<x* konvergiert.
Meiner Überlegung nach, müsste nach dem 1.ten Newton Schritt x1>x* sein und somit müssten meine Beweisschritte von davor greifen.
Jedoch wie zeige ich, dass nach dem ersten Newton Schritt x1>x*?

Danke im voraus!



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Anschaulich ist das auch ziemlich klar. Daher solltest du versuchen es mathematisch zu begründen. Dabei kann dir die Tangente helfen. 

Es sei $x_0<x^*$. Da $f$ konvex ist, liegt die Tangente $g$ im Punkt $(x_0 | f(x_0))$ unterhalb von $f$, es gilt also $g\leq f$. Was bedeutet das für $g(x^*)$? Wenn du jetzt noch die Monotonie von $f$ verwendest, was weißt du dann über die Tangente $g$? Und warum muss dann $x_1>x^*$ sein?

Ich hoffe, dir helfen die Tipps schon weiter. :)
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Da g≤f folgt g(x*)<=f(x*)=0 und da f streng monoton wachsend ist, ist auch die Tangente g im Punkt (x0/f(x0)) monoton wachsend und g hat eine Nullstelle x1>=x*, wobei die Nullstelle von g genau der erste Schritt des Newton Verfahrens ist.
So ungefähr?
  ─   user7be8f1 31.08.2021 um 17:13

Die Tangente ist monoton wachsend. Nicht "im Punkt...". Ansonsten sehr gut. :)   ─   cauchy 31.08.2021 um 19:58

Ja stimmt natürlich, vielen lieben Dank!   ─   user7be8f1 31.08.2021 um 20:02

Sehr gerne. :)   ─   cauchy 31.08.2021 um 20:04

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