"auf die Form...": Wie kommst Du darauf? Das erste $=$ stimmt sicher nicht allgemein.
Die Frage bei der ersten Ungleichung ist: Was passiert mit einem Raum, den ich in eine lineare Funktion stecke? Genauer: Was passiert mit der Dimension? Nimm dazu eine Basis von $Im(f)$ an, bilde die mit $g$ ab und prüfe, wie das mit einer möglichen Basis von $Im(g\circ f)$ zusammenhängt.
Die andere Ungleichung zeigt man ähnlich.