Lokale und Globale Extremstellen

Erste Frage Aufrufe: 54     Aktiv: 24.05.2021 um 17:08

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Ich hab eine Frage zu einer Aufgabe aus einer Probeklausur, und zwar steht da, "zeigen sie rechnerisch, dass x=2 eine lokale Minimalstelle der Funktion f ist.". Ich weiß schon dank des Videos mit der Monotonietabelle wie man extremstellen berechnet, allerdings weiß ich nicht wie man herausfinden kann ob es ein lokaler oder globaler Extrempunkt ist.
Die Funktion f ist f(x)= 1/4x^4 - 2x^2 + 2.
Ist der Punkt x=2 aus der Aufgabenstellunf die Nullstelle von der Ableitung oder was ist das? Das würde ich auch gerne wissen.
Danke schon mal im Voraus!
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Global ist es, wenn es keinen Wert gibt, der kleiner ist als diese Minimalstelle. Da muss man dann auch die Ränder betrachten. Ist hier aber ohnehin nicht gefragt. Hier reicht es aus zu wissen, dass sie zumindest lokal ist.
Und ja, diese Minimalstelle haben sie womöglich über das Nullsetzen der ersten Ableitung gefunden. Wenn man sich dann noch die zweite Ableitung oder den VZW (Vorzeichenwechsel) anschaut, kann man die Stelle x = 2 als Minimum identifzieren.
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x=2 ist nicht die Nullstelle der Ableitung, sondern eine.
Mit der Monotonietabelle findet man alle lokalen Extremstellen, nämlich dass in 0 ein lok. Max. vorliegt, und in \(\pm2\) lokale Minima.
Für glob. Extremstellen sind Zusatzüberlegungen nötig. Hier z.B.:
Ebenfalls aus der Tabelle sieht man, dass f links von -2 mon. fällt und rechts von 2 mon. steigt. Daher gibt es ein glob. Min., das in 2 oder -2 vorliegt. Man prüft dann, welcher von f(2) oder f(-2) der kleinere ist, und dort ist dann das glob. Min. Es kann auch in beiden das glob. Min. vorliegen (wenn beide Funktionswerte gleich sind).
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