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Um Eigenwerte zu bestimmen, müssen wir \(\det(M-\lambda\mathbb E_3)=0\) lösen. Berechnen wir diese Determinante (z.B. nach Sarrus oder Laplace-Entwicklung nach der dritten Spalte), erhalten wir \((\lambda-4)(\lambda^2-a\lambda-2b)=0\). Also ist \(4\) immer ein Eigenwert (was wir auch sofort der Matrix ansehen, da \((0,0,1)^t\overset M\mapsto (0,0,4)^t\)). Die anderen beiden Eigenwerte müssen vom quadratischen Teil kommen, also muss gelten \(\lambda^2-2a\lambda-2b=(\lambda+1)(\lambda-2)=\lambda^2-\lambda-2\) und Koeffizientenvergleich liefert \(a=b=1\).
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sterecht
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Wenn man bei \(\lambda^2-a\lambda-2b=0\) angekommen ist, kann man auch alternativ die zwei Eigenwerte für \(\lambda\) einsetzen und erhält so ein Gleichungssystem für \(a\) und \(b\).
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sterecht
14.03.2020 um 10:14
Okey danke erstmal :) Soweit verstehe ich die Rechnung auch aber ich komme nicht auf das Ergebnis (λ−4)(λ2−aλ−2b)=0 oder irgendein anderes Ergebnis welches du da stehen hast egal ob ich Sarrus oder die Laplace Methode benutze.
Mein Ergebnis ist jedesmal -4aλ+4λ²*(-λ)-8b-2λb. ─ exory47 14.03.2020 um 16:05
Mein Ergebnis ist jedesmal -4aλ+4λ²*(-λ)-8b-2λb. ─ exory47 14.03.2020 um 16:05
Da musst du dich irgendwo verrechnet haben. Die Matrix \(M-\lambda\mathbb E_3\) sieht so aus:
\(\begin {pmatrix}a-\lambda&2&0\\b&-\lambda&0\\0&0&4-\lambda\end {pmatrix}\)
Entwickeln wir jetzt nach der dritten Spalte, bekommen wir die Determinante
\((4-\lambda)\det\begin {pmatrix}a-\lambda&2\\b&-\lambda\end {pmatrix}=(4-\lambda)((a-\lambda)(-\lambda)-2b).\) ─ sterecht 14.03.2020 um 16:19
\(\begin {pmatrix}a-\lambda&2&0\\b&-\lambda&0\\0&0&4-\lambda\end {pmatrix}\)
Entwickeln wir jetzt nach der dritten Spalte, bekommen wir die Determinante
\((4-\lambda)\det\begin {pmatrix}a-\lambda&2\\b&-\lambda\end {pmatrix}=(4-\lambda)((a-\lambda)(-\lambda)-2b).\) ─ sterecht 14.03.2020 um 16:19
Ach ja hab meinen Fehler gesehen jetzt versteh ich es :)
Hast mir sehr geholfen Dankeschön :)
─ exory47 14.03.2020 um 16:22
Hast mir sehr geholfen Dankeschön :)
─ exory47 14.03.2020 um 16:22
Sehr gern.
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sterecht
14.03.2020 um 16:23