(Twitter)
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hi um ehrlich zu sein verstehe ich nicht wann die Sätze genau gelten. Hab mich jetzt in paar Quellen informiert und irgendwie wird da oft immer was anders gemacht.
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psykeeper0000
01.12.2020 um 13:25
Kannst Du etwas spezifischer sein? Im Satz steht doch genau drin, wann er gilt. Welche Bedingung verstehst Du nicht?
Formuliere die konkrete Gleichung am Besten erst einmal in der Notation des Satzes, indem Du die Terme Deiner Gleichung den entsprechenden Termen in der Notation des Satzes zuordnest. Präsentiere Dein Ergebnis hier. Dann gehen wir zusammen die Bedingungen Schritt für Schritt durch. ─ slanack 01.12.2020 um 13:38
Formuliere die konkrete Gleichung am Besten erst einmal in der Notation des Satzes, indem Du die Terme Deiner Gleichung den entsprechenden Termen in der Notation des Satzes zuordnest. Präsentiere Dein Ergebnis hier. Dann gehen wir zusammen die Bedingungen Schritt für Schritt durch. ─ slanack 01.12.2020 um 13:38
Die Matrix verwirrt mich tatsächlich und ich weiß nicht wie ich diese unterbrige in f(t,u)-f(t,v) = ||A(t)*u - A(t) *v|| . Hab vorher schon an ner einfachen Gleichung die Lipschitz stetigkeit zeigen können nur hier bin ich sehr unsicher :(
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psykeeper0000
01.12.2020 um 16:10
Das sieht schon mal gut aus! Jetzt benutzt Du die Linearität: \(\|f(t,u)-f(t,v)\|=\|A(t)u-A(t)v\|=\|A(t)(u-v)\|\le\dots\). Weißt Du, wie es weiter geht? Stichwort: Norm eines linearen Operators (also einer linearen Abbildung)..
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slanack
01.12.2020 um 18:28
≤||A(t)|| ||u-v|| wobei A(t) hier halt L wäre nach dem Satz schätze ich.
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psykeeper0000
01.12.2020 um 18:59
Genau. Da steht die Lipschitzstetigkeit fast schon da. Allerdings hängt die Konstante noch von \(t\) ab, man kann sie nicht einfach gleich \(L\) setzen. Jetzt verwendest Du, dass \(A\) eine stetige Funktion ist, und die Norm auch. Somit ist die Komposition \(t\mapsto\|A(t)\|\) auch stetig. Bedenke, dass nur *lokale* Lipschitzstetigkeit verlangt wird. Wie können wir die jetzt zeigen?
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slanack
01.12.2020 um 19:03
Die Anfangsbedingung t = t0 in A(t) einsetzen und die Terme summieren damit die Abhängigkeit sich auflöst? Kann kompletter Mist sein der Schritt aber versuche es eben mithilfe des Skriptes zu entziffern wie das dann weitergeht :D
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psykeeper0000
01.12.2020 um 19:13
Nein, das ist eine Sackgasse. Die Lipschitzbedingung muss ja für alle \(t\) gelten, aber immer nur in einer Umgebung eines Punktes \((t,u)\), nicht unbedingt im ganzen Definitionsbereich von \(f\). Nimm also einen festen Punkt \((t^*,u^*)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\). Was kannst Du über die Funktion \(\|A(\cdot)\|\colon[t^*-1,t^*+1]\mapsto\mathbb{R}\) sagen? Finde dann eine Umgebung von \((t^*,u^*)\), so dass \(f\) dort Lipschitzstetig ist.
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slanack
01.12.2020 um 19:23
Danke für deine Mühen nur lese ich hier seit ner Stunde ganze zeit Skripte zu dem Part wo ich die Umgebung halt definieren soll, nur komme ich da leider auf keinen gescheiten Gedanken.
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psykeeper0000
01.12.2020 um 20:40
Du musst einfach eine Menge finden, wo \(\|A(t)\|\) beschränkt ist. Nimm z.B. \(L:=\max_{t\in[t^*-1,t^*+1]}\|A(t)\|\) (warum existiert das?) und \(U:=[t^*-1,t^*+1]\times\mathbb{R}^2\). Dann gilt für \((t,u),(t,v)\in U\): \(\|f(t,u)-f(t,v)\|\le\|A(t)\|\|u-v\|\le L\|u-v\|\). Da \((t^*,u^*)\) beliebig war, ist \(f\) lokal Lipschitzstetig im zweiten Argument.
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slanack
01.12.2020 um 20:44
Ah, ich sehe gerade, dass ja globale Lösungen gefordert werden. Dann muss man mein Argument von eben etwas modifizieren: Zeige: Für jede Zahl \(R>0\) ist \(f\) auf \([-R,R]\times\mathbb{R}^2\) Lipschitzstetig.
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slanack
01.12.2020 um 20:55