Algorithmen (Gauß, Jordan) - Inverse, Basiswechsel, Lsg, usw (2)

Aufrufe: 389     Aktiv: 01.07.2021 um 13:48
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Hallo, ich wollte mich für meine gestrige Frage entschuldigen, war schon zu spät und ich wollte das noch unbedingt auf Muss verstehen, dementsprechend ist die Frage unscharf und nicht klar.

Allgemeines Problem / Probleme
Grundsätzlich habe ich folgendes Problem damit (noch) die Eindeutigkeit von Umformungsverfahren wie Gauß oder Jordan zu verstehen. Hierzu nochmal der Wikipediaartikel https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum), wo ca. zur Hälfte der Seite eine Umformung von Basis B in Basis B' umgeformt wird. Das Problem, das ich sehe und nicht verstehe ist, welche Regeln zur Eindeutigkeit gibt es bei den diversen Verfahren
-Problem 1: darf man Gauß/ Jordan auch mit Diagonalelementen ungleich 1 durchführen (0 ist klarerweise nicht möglich), sodann kommt man ja nie zu einem Ergebnis rationaler Zahlen, wie im Wikipedia Artikel
-Problem 2: sodann ist mir sowieso vollkommen unklar, wie sich durch dieses Verfahren Dezimalbrüche als Ergebnis ergeben, denn ich muss nur Gauß und Gauß retour durchführen, ich habe somit mit den entsprechenden Diagonalelementen doch immer ganzzahlige Ergebnis?
- gibt es Möglichkeiten, wo man nur Spalten bzw. Zeilenumformungen durchführen darf?

Vielen Dank :)
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Ok, jetzt verstehe ich was du meinst. Einen Basiswechsel einer Basis \(B\) zur Basis \(B'\) kann man mit einer Transformationsmatrix \(T^B_{B'}(id)\) beschreiben. Sei nun \(A_B\) und \(A_{B'}\) die Matrizen mit den jeweiligen Basisvektoren, dann gilt \(A_{B'}=T^B_{B'}\cdot A_B\) und somit \(T^B_{B'}=A_{B'}\cdot A_B^{-1}\). Diese Operation fürhst du genau aus, wenn du das LGS \((A_B|A_{B_1})\) in die Form \((E_n |T^B_{B'})\) bringst, da du hierbei die Matrix \(A_B\) invertierst, da \(A_B \cdot A_B^{-1}= E_n\) gilt. Die Eindeutigkeit ist trivialerweise dadurch erfüllt, dass \(A_B\) aus Basisvektoren besteht.
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Student, Punkte: 10.87K

 
Danke, ich glaub ich weiß, was das Problem ist, also betreffend den Algorithmen, hab scheinbar so viel gelernt, dass ich Allgemeines vergessen habe, kann es sein, dass man sowohl bei Gauß als auch bei Gauß Jordan nicht mit Diagonalelementen != 1 operieren darf? Also immer wenn ein Diagonalelement != 1, dann muss man umformen, gilt das für alle Verfahren? und nochmal, vielen lieben Dank :)   ─   sven03 01.07.2021 um 12:22
Wenn ich das noch wüsste, wären dann gleich 2 Restprobleme auf einen Schlag geklärt, da du mir ja mein Lieblingsproblem mit dem Basiswechsel auch gleich erklärt hast :D   ─   sven03 01.07.2021 um 12:22
Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist ja ein Algorithmus, sodass die genaue Schrittabfolge eindeutig definiert ist. Diese Schrittabfolge wurde dabei so gewählt, dass man links die Einheitsmatrix erhält. Du kannst dich also an diesen Algorithmus halten, oder selber wie du es für sinnvoll hälst, zulässige Umformungen durchführen. Für die Transformationsmatrix ist es halt eben das Ziel, links die Einheitsmatrix zu erzeugen, ob du dabei algorithmisch vorgehst ist für die Lösung aber nicht rellevant, solange du zulässige Umformungen machst.   ─   mathejean 01.07.2021 um 12:26
Ich werde mich aber ab jetzt strikt daran halten, wenn Diag != 1, so forme ich die Zeile sofort um, habe das Gefühl, nur so auf eine richtige Lösung zu kommen, also Gauß, Gauß Jordan:
Also, informal gesprochen
Ziel: Bringe in Zeilen Stufen
1. Wenn Diag != 1, so forme auf 1 um, ist Diag = 0 vertausche mit Zeile (sollte bei Lsg funktionieren und hoffentlich auch bei Transformationen), Spalten tauschen ist immer ein wenig instabil
2. Operiere und bringe bis Zeile r in Zeilen-Stufenform, lese Rang + ker (Ja/ Nein Instanz-> keine funktionale Lösung (also so, dass ich bpsw. den Defekt explizit gegeben habe - dies muss ich mir auch noch anschauen))& ev. Lösung ab, führe Gauß Jordan für Transformation & Inverse, für Restzeilen verkehrt durch
& nochmal, vielen, vielen lieben dank

   ─   sven03 01.07.2021 um 12:31
Kein Problem, bei Transformationsmatrizen kannst du dir aber wie gesagt sicher sein, dass diese regulär sind :D   ─   mathejean 01.07.2021 um 12:37
Ich glaub ich habe diesen Blödsinn noch immer nicht geistig erfasst und verstanden. Die Aufgabe war man hatte eine Abbildung vom R^(2) in den R^(3) durch festgelegte Bilder F(2 1 ) = ( 1 2 1 ) und f ( 1 1 ) = ( 1 1 1 )
jetzt sollte man die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis bestimmen, also das Bild der kanonischen Basis - und einer hat es eben so gelöst, dass er den Gauß Jordan des Basiswechsels, den ich mittlerweile verstanden habe durchgeführt hat, nur so, dass er von Basis des 3 Dimensionalen in die Basis der 2 Dimensionalen umgeformt hat, also dass beim 2 Dimensionalen dann die Einheitsmatrix steht
Also hab ich eine Transformationsmatrix von der R^(3) Basis in die die R^(2) Basis, aber angeblich in die kanonische
An diesem Beispiel hab ich die ganze Nacht gekrübelt, ich verstehe 1. nicht warum man Jordan aufeinmal mit Spalten durchführen darf, warum man Jordan auf 2 verschiedenen Dimensionen durchgeführen darf, und was es für einen Sinn haben soll.
Also die Aufgabe mit den obigen Angaben war noch einmal konkret: Bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der kanonischen Basis (d.h. im R^(2) und R^(3) wird die kanonosische Basis gewählt, dieses Beispiel treibt mich zur Weißglut, ganz ehrlich....)   ─   sven03 01.07.2021 um 12:56
Ich kanns mir nur geistig so erklären, nach ein wenig nachdenken, ich habe irgendwelche Bilder für eine nicht kanonische Basis des R^(2) festgelegt - auch wenn ich die formale Antwort nicht ganz verstanden habe, weil es wirklich nicht mein Lieblingsthema zu sein scheint, so ist die Idee, dass ich mir irgendein K^(n) aus V, das in W abbildet nehme, die Abbildungsmatrix bildet in (3 2 , ...) Basis des R^(2) transfromiert ab, mit Gauß Jordan auf Spalten, da ungleich Dimensional, also gebe ich in die Abbildung irgendeinen Input und errechne mir quasi über die Transponierte Abbilungsmatrix die Koordinaten die z.B. 1 0 über diese Abbildung wäre, so würde ich es mir erklären   ─   sven03 01.07.2021 um 13:04
Hier mit Basiswechsel zu arbeiten ist viel zu umständlich. Nutze lieber die Linearität aus, man sieht sofort \(F(e_1)=F((2,1)-(1,1))=F(2,1)-F(1,1)=(0,1,0)\)   ─   mathejean 01.07.2021 um 13:17
Auch wendest du Begrifflichkeiten des Basiswechsels falsch an. Die Transformationsmatrix ist immer innerhalb eines Vektorraums, sonst wäre sie hier auch gar nicht regulär. Du meinst wahrscheinlich die Darstellungsmatrizen bezüglich den jeweiligen Basen. Überleg dir vielleicht nochmal genau, was beim Basiswechsel unklar ist (vermutlich Basiswechsel bei Darstellungsmatrizen) und formuliere eine extra Frage. Vielleicht hilft dir hier auch das: https://www.mathefragen.de/frage/q/a3fbcb98f8/matrixabbildung-bestimmen-erklarung-des-rechenwegslosung/   ─   mathejean 01.07.2021 um 13:22
Ok jetzt hab ich's verstanden, danke, du rechnest "einfach" in V zu (1 0) und nutzt die Linearität aus, d.h. ich kann (0,1) bestimmen indem ich F(2*(1,1)-(2,1)) = 2 * F(1,1) - F(2,1) berechne (Hirn einschalten, wäre manchmal vom Vorteil meinerseits..)
...
und zum Basiswechsel selbst gibt's nur zu wissen, dass man nur innerhalb eines Vektorraums einen Basiswechsel durchführen kann und soll, und dann gilt, gegeben sind zwei Basen b1= {b1, ...., bm} und b2={b1, .... , bm}, so will ich von 1 nach 2 übersetzen, indem ich (b2 | b1):= Tb1b2, Jordan b2 auf Einheits, b1 als Input in Tb1b2 * b1 (was ja genau dieser Basiswechsel ist, es ist eine Matrix), um dann zu wissen ok ich habe etwas in b1, wie würden die Koordinaten bezüglich meiner anderen, gewählten Basis b2 aussehen, sodann kenne ich mich aus, vielen, vielen, lieben Dank, nochmals :) Und ja ich habe das Gefühl relativ vorbereitet zu sein, bin nur diesmal in der angenehmen Situation mich auch mit meinen Lieblingsthemen noch beschäftigen zu können, sonst sitzt ja eh alles :) - danke auf jeden Fall nochmal :)))

   ─   sven03 01.07.2021 um 13:35
Ja, dass sieht so gut aus! Viel Erfolg bei deiner Klausur!   ─   mathejean 01.07.2021 um 13:42
Vielen Dank :)   ─   sven03 01.07.2021 um 13:48

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