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1. Sei \(A\) abzählbar und \(\varphi\colon A\to\mathbb{N}\) eine Bijektion. Dann definiert \(\Phi\colon 2^A\to 2^{\mathbb{N}}\) mit \(\Phi(P):=\varphi(P)\) eine Bijektion (prüfen!). Da \(2^{\mathbb{N}}\) überabzählbar ist, gilt dasselbe auch für \(2^A\).
2. a) Ich nehme an, Du meinst \(A=2\mathbb{N}\). Dann ist \(\varphi\colon A\to\mathbb{N}, \varphi(x):=x/2\) eine Bijektion, also \(A\) abzählbar. Nach 1. ist also \(2^A\) überabzählbar.
b) Hier meinst Du statt Betrag wohl die Mächtigkeit des Schnittes. D.h. von je einer natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger kann nur eine der beiden Zahlen zu einer Teilmenge \(X\) gehören. Es ist klar, dass für \(A\) aus a) \(2^A\subseteq B\) gilt (überlegen), also auch \(B\) überabzählbar ist.
Hilft das?
2. a) Ich nehme an, Du meinst \(A=2\mathbb{N}\). Dann ist \(\varphi\colon A\to\mathbb{N}, \varphi(x):=x/2\) eine Bijektion, also \(A\) abzählbar. Nach 1. ist also \(2^A\) überabzählbar.
b) Hier meinst Du statt Betrag wohl die Mächtigkeit des Schnittes. D.h. von je einer natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger kann nur eine der beiden Zahlen zu einer Teilmenge \(X\) gehören. Es ist klar, dass für \(A\) aus a) \(2^A\subseteq B\) gilt (überlegen), also auch \(B\) überabzählbar ist.
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slanack
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