Abzählbarkeit

Aufrufe: 53     Aktiv: 19.03.2021 um 13:15

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Hallo

Ich habe vor einigen Wochen in einer Klausur zwei Aufgaben zur Abzählbarkeit nicht geschafft und wollte deshalb hier mal fragen, ob mir die jemand erklären könnte. Grundsätzlich weiß ich Abzählbarkeit bedeutet, dass es eine Bijektion gibt, von der einen Menge auf die natürlichen Zahlen, nur habe ich sowohl Probleme damit, passende Bijektionen zu finden oder andersherum zu zeigen, dass es keine gibt.

Das waren die Aufgaben:

1. Ist eine Menge \(2^A\) immer überabzählbar, wenn A abzählbar ist.
Vom Gefühl her, hätte ich nein gesagt, aber ich kann es nicht begründen.

2. \(A=\{2n\}\)
a) zz. \(2^A\) ist überabzählbar
da hätte ich gesagt, dass A und N gleichmächtig sind und wir in der Vorlesung gezeigt haben, dass \(2^N\) überabzählbar ist

b) zz. B ist überabzählbar, wobei B die Menge aller Teilmengen X von N ist, für die gilt, dass der Betrag vom Schnitt von {i,i+1} und X kleinergleich 1 ist, für alle i aus N.
da habe ich echt gar keine Ahnung



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1. Sei \(A\) abzählbar und \(\varphi\colon A\to\mathbb{N}\) eine Bijektion. Dann definiert \(\Phi\colon 2^A\to 2^{\mathbb{N}}\) mit \(\Phi(P):=\varphi(P)\) eine Bijektion (prüfen!). Da \(2^{\mathbb{N}}\) überabzählbar ist, gilt dasselbe auch für \(2^A\).

2. a) Ich nehme an, Du meinst \(A=2\mathbb{N}\). Dann ist \(\varphi\colon A\to\mathbb{N}, \varphi(x):=x/2\) eine Bijektion, also \(A\) abzählbar. Nach 1. ist also \(2^A\) überabzählbar.

b) Hier meinst Du statt Betrag wohl die Mächtigkeit des Schnittes. D.h. von je einer natürlichen Zahl und ihrem Nachfolger kann nur eine der beiden Zahlen zu einer Teilmenge \(X\) gehören. Es ist klar, dass für \(A\) aus a) \(2^A\subseteq B\) gilt (überlegen), also auch \(B\) überabzählbar ist.

Hilft das?
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