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Jede schiefsymmetrische Bilinearform besitzt eine symplektische Basis

Heyyy?kann jemand mir vllt erklären wie man diese Aussage/Satz beweisen soll?
Danke!

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Student, Punkte: 92

 

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So wie es dasteht, ist die Aussage falsch. Man braucht, dass die Bilinearform nicht ausgeartet ist, und dass der zugrundeliegende Körper nicht Charakteristik $2$ hat. Ich bin mir nicht sicher, wie es im unendlichdimensionalen Fall aussieht, ich kenne die Aussage nur für endlichdimensionale Vektorräume.

In diesem Fall kann man aber ein einfaches konstruktives Verfahren angeben: Sei $\beta:V\times V\to V$ die nicht-ausgeartete Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$, $\mathrm{char}(K)\neq2$ und $\dim_KV<\infty$. Beginne mit einer Basis des Vektorraums, finde zwei Vektoren \(u_1,v_1'\) mit $\beta(u_1,v_1')\neq 0$ und setze $v_1=\frac1{\beta(u_1,v_1')}v_1$ sowie $H:=\langle u_1,v_1\rangle$. Dann ist $\dim_KH=2$, denn wenn $u_1,v_1$ linear unabhängig wären, wäre (da $\mathrm{char}(K)\neq 2$) $\beta(u_1,v_1)=0$. Außerdem findet man immer solche $u_1,v_1$, da $\beta$ nichtausgeartet ist. Zeige nun noch $V=H\oplus H^\bot$, dann kannst du mit Induktion die Behauptung schließen (also das Verfahren erneut für $H^\bot$ verwenden, um die nächsten zwei Basisvektoren zu finden usw.) Aus der Konstruktion ergibt sich, dass an den Diagonalen immer Matrizen der Form $$\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$ stehen, und alle anderen Einträge müssen $0$ sein, da wir das orthogonale Komplement betrachtet haben.
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