Mittelwertsatz

Aufrufe: 982     Aktiv: 09.06.2020 um 10:25
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Was ist der Mittelwertsatz und wann ist der gefragt? 

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Schüler, Punkte: 60

 
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Eine typische Aufgabe wäre: Ein Schüler betrachtet das Wachstum einer Planze. Die Funktion f(x) beschreibt die Wachstumsrate dieser Pflanze in mm/h. Berechnen Sie, wie viele mm die Pflanze in der ersten Stunde gewachsen ist. Man berechnet dann nach der 1. Formel 1/(1-0) mal dem Integral von 0 bis 1 (wegen der 1. Stunde)

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Dann hätte ich aber eine weitere Frage: Wenn jetzt gefragt wäre wie die Wachstumgsgeschwindigkeit ist durchschnittlich oder vom Intervall wäre dann die mittlere Änderungsrate gefragt?   ─   anonymfc6f7 08.06.2020 um 23:16
Was du beschreibst, ist nur, wie man den Mittelwert berechnet. Der Mittelwertsatz besagt aber, dass es eine Stelle `xi` im Intervall [a,b] gibt, an der der Funktionswert gleich dem Mittelwert ist. Voraussetzung ist, dass die Funktion f stetig ist.
So, und das ganze ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung. Es gibt noch einen der Differentialrechnung und möglicherweise war der gemeint.   ─   digamma 09.06.2020 um 09:59
Danke für deinen Hinweis!   ─   larivermann 09.06.2020 um 10:25

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Ja, genau!

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Es gibt noch den Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Der besagt, dass bei einer differenzierbaren Funktion f auf dem Intervall [a,b] eine Stelle `xi` im Innern des Intervalls existiert, an der die Ableitung gleich der mittleren Steigung ist, also

`f'(xi) = (f(b) - f(a))/(b-a)`

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