Quantoren und Aussagen

Erste Frage Aufrufe: 111     Aktiv: 29.10.2022 um 14:15

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Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen:
Falls jemand nur die Antwort auf eine der Fragen weiß, wäre mir auch schon sehr geholfen.
1) Wie lässt sich die beiden oben genannten Aussagen lesen?

Meine aktuelle "Interpretation" der o.g. Aussage:
(i) Für alle (Allquantor) Elemente x aus der Menge der natürlichen Zahlen existiert für alle (Allquantor) N aus der Menge der natürlichen Zahlen existiert mindestens ein (Existenzquantor) m aus der Menge der natürlichen Zahlen, derart, dass gilt  n geteilt durch m ist kleiner als N. 

Die doppelte Verwendung von "existiert" verwirrt mich etwas, aber wie sollte man das anders formulieren?

2) (i) und (ii) sind beide gleich bis auf die Stellung der einzelnen Bestandteile der Aussage. Deshalb nehme ich an, dass man die einzelnen Quantoren nicht kommutativ getauscht werden können?

3) Sind folgende Aussagen korrekt? Falls nicht, wie müssten diese angepasst werden?

a) Ein Allquantor kann widerlegt werden, indem man feststellt, dass es mindestens einen Wert (Existenzquantor) gibt, welcher der dem Allquantor zugeordneten Aussage widerspricht.
b) Ein Existenzquantor kann widerlegt werden, indem man feststellt, dass es keinen Wert gibt (also ein negotierter Allquantor), welcher auf die vom Existenzquantor verlangte Aussage zutrifft.

4) Würde es bei (i) und (ii) genügen, wenn man nachweißt, dass eine der Quantoren so nicht zutrifft, um zu beweisen, dass die gesamte Aussage nicht stimmt? Also, dass es bei einem der Allquantoren einen Wert gibt, der diesem widerspricht?

In (i) wäre, wenn m = 2 und N = 2 sind, also n/2 < 2, n nur wahr bis zu Werten kleiner gleich 4. Damit würde n in diesem Fall nicht für alle natürlichen Zahlen gelten und die gesamte Aussage wäre damit falsch (?).

Ich danke euch.
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Zu 1) Das erste "existiert" hat da nichts zu suchen. Ersetze es durch "und".
Zu 2) Deine Annahme ist richtig.
Zu 3) Du meinst das richtige. Korrekt hieße es aber  "EIne mit einem Allquantor beginnende Aussage kann widerlegt werden....". Bei der zweiten Variante entsprechend. Mach Dir klar, dass dahinter das Negieren der entsprechenden Aussagen steckt. Man widerlegt ja eine Aussage, indem man nachweist, dass die Negation wahr ist.
Zu 4) Wie gesagt, man widerlegt keine Quantoren. Es geht stets um Aussagen.

Merkregel für das Negieren: Alle Quantoren "umdrehen" und die Aussageform am Ende formal negieren.
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