Fahrplan partikuläre Lösung DGL nach Störfunktion

Aufrufe: 781     Aktiv: 13.09.2020 um 21:58
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Die allgemeine Lösung einer DGL mit Störfunktion setzt sich meiner Meinung nach aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und der partikulären Lösung der inhomogenen DGL zusammen. Heißt es eigentlich \(y_{h}\) oder \(y_{n}\)? Sehe oft unterschiedliche Indexe.

\(y=y_{h}+y_{p}\) 

Für die allgemeine Lösung der homogenen DGL setze ich das charakteristische Polynom gleich 0 und bekomme abhängig vom Wert der Diskriminante einen der drei Ansätze für die allgemeine Lösung \(y_{h}(x)\).

Der Ansatz für die partikuläre Lösung \(y_{p}(x)\) richtet sich nach der Störfunktion.

Ich weiß, dass ich die Ableitungen von \(y_{p}(x)\) in die DGL einsetze und die Parameter von \(y_{p}(x)\) mittels Koeffizientenvergleich bestimmen kann.

Aber welchen Ansatz muss ich wählen? Bitte zeigt mir den Ansatz für \(y_{p}(x)\) bei den verschiedenen drei Typen der Störfunktionen, damit ich ein Gefühl dafür bekomme und noch ein paar Übungsaufgaben rechnen kann:

Eine ausgedachte Differentialgleichung: \(y''+y = S(x)\). Ich weiß nicht, ob die DGL mithilfe der Störfunktionen aufgeht. Es geht mir nur um den korrekten Ansatz der partikulären Lösung.

\(S(x)=2x^2+4\)

\(S(x)=3x+e^{2x}\)

\(S(x)=2*cos(x)*x\)

Lieben Dank! :)

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Moin helpmath.

Ohne Berücksichtigung der homogenen Lösungen würde ich folgende Anstätze wählen:

1. \(y_p(x)=Ax^2+Bx+C\)

2. \(y_p(x)=Ax+Be^{2x}+C\)

3. \(y_p(x)=A\sin(x)+B\cos(x)+x(C\sin(x)+D\cos(x))\)

Ist aber der Ansatz Teil der homogenen Lösung, wird das Polynom um einen Grad erhöht.

 

 

Grüße

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Cool, danke! Kannst du mir irgendwie verdeutlichen, wie ich das zu verstehen habe? Da habe ich immer noch große Probleme mit. Oftmals wähle ich einen falschen Ansatz für yp und drifte völlig ab,.. LG   ─   helpmath 12.09.2020 um 22:13
Was meinst du konkret? Meine Ansätze kannst du ja oben sehen.   ─   1+2=3 12.09.2020 um 22:16
Hast du da einen Verweis auf eine gute Erklärung? Ich kann da noch kein richtiges Muster erkennen. Polynom zweiten Grades, sofern die Störfunktion ein x^2 hat? Inwiefern spielt dann dort die charakteristische Gleichung mit rein?   ─   helpmath 12.09.2020 um 22:23
Im Folgenden Link sind einige Ansätze aufgeführt. Was dort nicht erwähnt ist: Hast du eine Kombination der aufgeführten Störfunktionen musst du auch einfach nur die Kombination der einzelnen Ansätze wählen. https://homepages.thm.de/~hg8070/math2kmub06/
unter dgl_ansatze.pdf findest du die Liste.
Das charakteristische Polynom ist bei meiner Wahl oben nicht berücksichtigt und wird auch im pdf nicht behandelt.
Grüße   ─   1+2=3 12.09.2020 um 22:28
Okay danke! Das hilft mir schon etwas weiter. Jetzt nur noch die Frage, wie das charakteristische Polynom da den Ansatz noch verändert. Die reine homogene DGL ( linke Seite gleich 0) spielt dort keine Rolle?   ─   helpmath 13.09.2020 um 08:03
Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung, inwiefern das charakteristische Polynom den Ansatz beeinflusst. In meinem Studium (Physik) haben wir zu DGL's bisher nicht sehr viel Theorie gemacht sondern viel Praktisches, u.A. eben auch die Ansätze. Aber vielleicht kann dir da jemand anderes weiter helfen.
Grüße   ─   1+2=3 13.09.2020 um 21:58

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die homogene Lösung darf man dabei nicht vernachlässigen!.
Haben wir im char.Polynom z.B. eine doppelte Nullstelle \(\lambda_{1,2}=1 \) und S(x) enthält \( e^x\) dann muss der Ansatz (bzgl e^x) lauten 
\(y_p = (ax^2+bx+c)e^x\) (ein x aus der inneren Resonanz(doppelte Nullstelle), ein x aus der äußeren Resonanz(S(x))

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Ist der Ansatz für yp denn immer ax^2+bx+c, sofern das charakteristische Polynom ebenfalls aλ^2+bλ+c ist und wird um den Ansatz der Störfunktion ergänzt? Habe da leider noch überhaupt keinen Faden gefunden und verrechne mich aufgrund der Wahl des falschen Ansatzes immer..   ─   helpmath 12.09.2020 um 22:19

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