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Es genügt hier zu zeigen, dass wenn ein Ringhomomorphismus \(f: \mathbb{K} \to R\) nicht injektiv ist, \(f\) der Nullhomorphismjs ist. Wenn \(f\) nicht injektiv ist, existieren also \(a,b \in \mathbb{K}\) mit \(a\not =b\) und \(f(a)=f(b)\). Es gilt also $$0_R=f(a)\oplus (-f(b))=f(a) \oplus f(-b)=f(a-b)$$Es gibt also ein \(x := a-b \in \mathbb{K}\setminus \{0\}\), so dass \(f(x)=0_R\). Was folgt daraus?
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mathejean
Student, Punkte: 10.87K
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Nun ja, wenn der Ringmorphismus Injektiv ist, dann ist der halt Injektiv (denke, dass man da dann nicht mehr viel zeigen muss) und wenn der nicht injektiv ist, dann gibt es bei der Verknüpfung von zwei unterschiedlichen Bildern jeweils das gleiche Urbild. Nun frage ich mich aber, ob wir denn einfach annehmen können, dass die Verknüpfung als Subtraktion zu deuten ist? Andernfalls würden die zwei gleichen Urbilder ja nicht 0R abbilden. Oder habe ich da irgendwo einen Denkfehler?
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user27c193
23.11.2021 um 09:51
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user1312000
23.11.2021 um 12:57
Es ist \(a-b:=a+(-b)\), kenne gerade leider nicht den Latex Code für den Kringel. Wie du richtig sagst, ist wenn \(f\) injektiv ist nichts mehr zu zeigen, du musst jetzt aus \(f(x)=0\) für ein \(x \in \mathbb{K}\) mit \(x\not =0\) folgern, dass \(f(a)=0\) für alle \(a \in \mathbb{K}\). Woher das \(x\) kommt siehst du oben in meiner Antwort.
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mathejean
23.11.2021 um 18:45
Danke @zest
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mathejean
23.11.2021 um 19:28