Beweis Vertauschungsregel Integralrechnung

Aufrufe: 113     Aktiv: 05.06.2022 um 15:05

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Zur Einführung der Integralrechnung lernten wir 5 elementare Rechenregeln für Integrale kennen. 

Meine Frage bezieht sich auf die Vertauschungsregel, also dass beim bestimmten Integral die Flächenbilanz das Vorzeichen ändert, wenn man die Intervallsgrenzen vertauscht. 

Diese Regel müssen wir beweisen können. Der erste Beweis ist einfach und macht Sinn. 
Mein Leher meinte, man könnte ihn auch auf eine anders beweisen und schrieb den rechten Ausdruck (siehe Bild) auf die Tafel. Was meint er genau damit und wie muss ich diesen Beweis interpretieren? Das Sigma-Zeichen mit "min" dahinter erinnert mich an die Untersumme...
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Wie habt ihr denn das Integral definiert? Wenn du von Untersummen plötzlich redest ist dein Beweis auch falsch, weil du Stammfunktionen nutzt und nicht jede R-integrierbare Funktion (das sind die wo Untersumme = Obersumme) eine Stammfunktionen hat   ─   mathejean 05.06.2022 um 09:20

Bei der Vertauschungsregel beziehen wir uns auf das bestimmte Integral. Bei dem anderen Beweis rechts war der Zusammenhang mit der Untersumme nur eine Vermutung. Bei der Untersumme haben wir von einer Flächeninhaltsfunktion gesprochen, welche wir verallgemeinerten (beliebig kleine Rechtecke) und dann Untersumme=Obersumme erhalten haben. Die Vermutung zur Untersumme habe ich, weil dort "min" steht und "n" bei der Untersumme die Anzahl Rechtecke war. Sonst sagt mir "min" und "n" nichts...   ─   nas17 05.06.2022 um 10:42

Kann es sein, dass ihr Integrale nur für stetige Funktionen betrachet, weil dann ist erstens dein Beweis richtig (jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion) und dann hättest du mit der Untersumme auch recht, weil im stetigen Fall auf einer kompakten Menge Infimum zu Minimum wird.   ─   mathejean 05.06.2022 um 11:44

Wir haben Integrale nur stetig betrachtet. Zudem haben wir uneigentliche Integrale (bin nicht sicher, ob die zu den unstetigen gehören) angeschaut. Könntest du mir den kurzen Beweis erklären?   ─   nas17 05.06.2022 um 13:36
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Ich glaube dein Lehrer will einfach nur \(\frac{b-a}{n}=\frac{-(a-b)}{n}\) sehen und die Summe steht dann wohl für die Untersumme (das Minus ziehst du ganz einfach vor die Summe). Ich vermute es soll eine Summe über eine äquidistante Zerlegungsnullfolge, aber wahrscheinlich egal
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Was bedeutet der Ausdruck (b-a)/n genau? Ich sehe, dass die Differenz der Intervalle [a;b] über der Anzahl Rechtecke n steht. (falls ich dies richtig interpretiere). Was erhalte ich, wenn ich die Summe von diesem Ausdruck bilde?   ─   nas17 05.06.2022 um 13:57

Wir zerlegen das Intervall \([a,b]\) in Teilintervalle der Größe \(\frac{b-a}n\) und bilden über diese Teilintervalle die Rechtecke, so dass sie unter dem Graphen sind, dafür steht das Minimum (Notation ist aber ehr schlecht). Man erhält wenn man gegen unendlich lässt die Untersumme   ─   mathejean 05.06.2022 um 14:18

Achso, danke! Gibt es einen Grund warum hier die Notation mit der Untersumme, also Minimum gewählt wurde? Hätte man auch "max" für die Obersumme schreiben können? Denn wenn wir "n" gegen unendlich laufen lassen muss die Untersumme = Obersumme sein?   ─   nas17 05.06.2022 um 15:03

Ja Max ist im Fall von stetigen Funktionen (ansonsten Supremum) die Obersumme, sehr gut! Und für stetige Funktionen ist immer Obersumme = Untersumme   ─   mathejean 05.06.2022 um 15:05

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