Hallo,

zuerst hast du einen kleinen Fehler gemacht, es gilt

$$ L_K(K,A,\lambda)= \alpha K^{\alpha -1} \cdot A^{1- \alpha} - \lambda r  = 0 $$

Außerdem vergiss nicht das du drei Gleichungen hast und somit das GS

$$ \begin{array}{ccccccc} I: & L_K(K,A,\lambda) &=& \alpha K^{\alpha -1} \cdot A^{1- \alpha} - \lambda r & = & 0 \\ II: &  L_A(K,A,\lambda) &=& (1-\alpha) K^\alpha A^{-\alpha} - \lambda w & = & 0  \\ III: & L_{\lambda} (K,A,\lambda) & = &  -(rK + w A-1) & = & 0 \end{array} $$

Nun multipliziere die erste Gleichung mit \( w \) und die zweite mit \( -r \) und addiere beide Gleichungen miteinander. Du erhälst

$$ IV: w \alpha K^{\alpha -1} A^{1-\alpha} + r (\alpha -1) K^\alpha A^{-\alpha} = 0 $$

In dem Zusammenhang macht es Sinn anzunehmen, das weder das Kapital noch der Arbeitsaufwand gleich Null ist, also

$$ A,K \neq 0 $$

Damit können diese Gleichung durch \( K^{\alpha} \) und \( A^{-\alpha} \) teilen. Damit erhalten wir die Gleichung

$$ w \alpha K^{-1} A + r (\alpha -1) = 0 $$

Nun nutze die dritte Gleichung und stelle diese nach \( A \) oder \( K \) um und setze sie ein. Die resultierende Gleichung kannst du nun nach \( A \) bzw \( K \) auflösen. 

Falls noch Probleme auftauchen, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian