Du musst nicht zeigen, dass \(n\) eine Primzahl sein kann, sondern dass \(n\) eine Primzahl sein muss. Dazu war die Idee, die ich angedacht hatte, statt \((i)\Longrightarrow(ii)\) die äquivalente Aussage \(\neg(i)\Longrightarrow\neg(ii)\) (die Kontraposition) zu zeigen, also:
Ist \(n\) keine Primzahl, dann gibt es unabhängige Teilmengen \(A,B\subseteq\Omega\), sodass beide weder leer noch ganz \(\Omega\) sind.
Mach dir klar, dass das tatsächlich eine korrekte Formulierung der Aussage \(\neg(i)\Longrightarrow\neg(ii)\) ist, insbesondere die Verneinung von (ii). Um das zu zeigen, nehmen wir also an, dass \(n\) keine Primzahl ist und müssen zwei Mengen \(A,B\) konstruieren, die die gegebenen Eigenschaften haben. Ich habe dir bereits ein Beispiel für \(n=4\) gegeben, für \(n=6\) könnten wir z.B. \(A=\{1,2\}\) und \(B=\{1,3,4\}\) wählen, du kannst nachrechnen, dass die Mengen unabhängig sind. Erkennst du ein Muster? (Denk an die Primfaktorzerlegung von 4 bzw. 6) Versuche, für ein allgemeines zusammengesetztes \(n\) zwei passende Mengen anzugeben, dann bist du fertig.