Kettenregel mehrdimensionaler Funktionen

Aufrufe: 48     Aktiv: 12.06.2022 um 00:51

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Hallo,

ich habe da eine Frage zur Aufgabe (2)(a):


Ich habe mich beim Vorgehen zum Bestimmen der Ableitung $\phi'(t)$ mittels Kettenregel an folgendes Beispiel aus Wikipedia gehalten:

Ich habe also wie folgt gerechnet:
  • $\dfrac{\partial f}{\partial u} =2u$
  • $\dfrac{\partial f}{\partial v} = 2v$
  • $u'(t)=-\frac{1}{t^2}$
  • $v'(t)=2t$
Damit folgt nach meiner Rechnung:
\[\begin{aligned} \phi'(t) &=\dfrac{\partial f}{\partial u} (t,t) \cdot u'(t) +\dfrac{\partial f}{\partial v} (t,t) \cdot v'(t)
\\ &=2t\cdot \left(-\dfrac{1}{t^2}\right)+2t\cdot 2t\\ & =-\dfrac{2}{t} +4t^2\end{aligned}\]
Wenn ich aber die Probe mache, sehe ich das mein Ergebnis falsch ist. Mit $\phi(t)=\left(\dfrac{1}{t}\right)^2 +(t^2)^2=\frac{1}{t^2} +t^4$ folgt:
\[\phi'(t)=-\dfrac{2}{t^3}+4t^3\neq -\dfrac{2}{t} +4t^2\]
Wo liegt mein Denkfehler? Ich wäre über Hilfe sehr dankbar.
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Student, Punkte: 28

 
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1 Antwort
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Du musst in die äußere Ableitung ja auch $u(t)$ bzw. $v(t) $ einsetzen statt $t$.
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Selbstständig, Punkte: 23.05K

 

Danke für die schnelle Antwort. Klar wie beim normalen Ableiten, peinlich! Manchmal hat man einfach ein Brett vorm Kopf. Jetzt komme ich auch auf das richtige Ergebnis, danke!
Es hat mich nur verwirrt weil das bei Wikipedia mit $f'(x)=\dfrac{\partial g}{\partial u} (x,x) h_1'(x) + \ldots$ steht. Es muss eigentlich "allgemeiner" $f'(x)=\dfrac{\partial g}{\partial u} \big{(} h_1(x), h_2(x)\big{)} h_1'(x) + \ldots$ heißen, aber da in dem Beispiel $h_1(x)=h_2(x)=x$ sind hat man dies gleich eingesetzt.
  ─   anonym84cf1 12.06.2022 um 00:45

So ist es.   ─   cauchy 12.06.2022 um 00:51

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