Für welches Lambda LGS eindeutig lösbar? Determinante

Aufrufe: 660     Aktiv: 01.01.2021 um 20:24
0

Hallo zusammen, es geht um eine Aufgabe aus dem Buch "Mathematik für Informatiker Band 1" von den Eheleuten Teschl, das kostenlos online als pdf verfügbar ist. Also keine Sorge wegen Copyright.

Ich verstehe nicht, wie ich die Lösung herausfinde.Hier geht es aber um die Determinante, das weiß ich mit Sicherheit. Am Ende wird eine Gleichung mit Lambda .... = 0 herauskommen, die mich dann mit der pq-Formel zur Lösung (siehe unten) führt.

 Meine Gedanken dazu sind folgende: ein LGS ist eindeutig lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich n ist. Wenn die Determinante ungleich 0 ist, dann hat das homogene Gleichungssystem Ax = 0 genau eine Lösung, nämlich die triviale. Aber das kann ja nicht die Lösung sein: einfach zu sagen, lambda soll 0 sein. Ich hab es trotzdem probiert: ich hab nach nach LaPlace nach der zweiten Spalte (0, Lambda, 1) entwickelt. Da kommt aber lambda * (lambda^2 -1) - lambda raus, was mir zwar die eine Lösung 0 verrät, aber ich komme nicht auf die Lösung mit +- Wurzel 2.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

 

Aufgabe:

 

Lösung:

 

Meine Lösung bisher:

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 260

 
Kommentar schreiben
2 Antworten
1

Das LGS ist in diesem Fall so einfach, dass man das sogar durch schnelle Umformungen ohne Determinante machen kann. Dass \(\lambda=0\) eine Lösung ist, kann mit Hilfe der ersten beiden Gleichungen recht schnell sehen, da diese dann identisch sind. 

Subtrahiert man diese beiden Gleichungen, erhält man \(x_1=x_2\) für alle anderen Fälle und \(x_3=-\lambda x_1\). Alles in die dritte Gleichung eingesetzt liefert dann nach Ausklammern \((2-\lambda^2)x_1=0\) und damit die gesuchte Lösung.

Diese Antwort melden
geantwortet

Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Wieso substrahieren? Ist damit das Additionsverfahren gemeint? Also dass ich die zweite Gleichung mit -1 multipliziere und dann die ersten beiden Gleichungen addiere? Ich verstehe nicht, wie man auf x1=x2 kommt, wie man auf x3 = -lambdax1 kommt und deshalb auch nicht, wie man auf das (2-....).. = 0 kommt.   ─   akimboslice 01.01.2021 um 10:53

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
1

Vorgehen ist ok, Du hast vermutlich einen Rechenfehler, denn mit \(\lambda^2-2\) wäre ja alles ok. Lad Deine Lösung hier gerne hoch, dann schau ich mir das mal an.

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Wieso wäre mit lambda^2 - 2 alles ok?
Hab meine "Lösung" mal im Ursprungsbeitrag hinzugefügt. Ich weiß nicht, wie ich auf die richtige Lösung komme, also welche Gedanken ich mir machen muss.   ─   akimboslice 01.01.2021 um 10:50

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.