Denk Dir einfach, die Aufgabe 1.(b) würde lauten:
"Es gibt ein $N$ mit $a_n \in U$ für alle $n\ge N$."
Das zumindest ist eine sinnvoll gestellte Aufgabe.

Was "$N(1)$" und "$N(\varepsilon)$" hier sollen, kann ich Dir nicht sagen - das verstehe ich auch nicht. Vermutlich wird mit "$N(1)=N(\varepsilon)$" hier implizit $\varepsilon=1$ definiert, und dann ist $U_{\varepsilon}(3)=U$. Aber dann müsste 3 ja ein Kandidat für den Grenzwert sein. 3 ist aber nie als Grenzwert ins Gespräch gebracht worden. Kurz und gut: Diese Notation gefällt mir ganz und gar nicht.

Achtung: Die Aussage kann wahr sein, auch wenn $a_n$ nicht konvergiert. Die Argumentation "nicht konvergent, also ist Aussage falsch" ist zu kurz gesprungen.

Deine Häufungspunkte sind schonmal richtig.