Denk Dir einfach, die Aufgabe 1.(b) würde lauten:
"Es gibt ein \(N\) mit \(a_n \in U\) für alle \(n\ge N\)."
Das zumindest ist eine sinnvoll gestellte Aufgabe.

Was "\(N(1)\)" und "\(N(\varepsilon)\)" hier sollen, kann ich Dir nicht sagen - das verstehe ich auch nicht. Vermutlich wird mit "\(N(1)=N(\varepsilon)\)" hier implizit \(\varepsilon=1\) definiert, und dann ist \(U_{\varepsilon}(3)=U\). Aber dann müsste 3 ja ein Kandidat für den Grenzwert sein. 3 ist aber nie als Grenzwert ins Gespräch gebracht worden. Kurz und gut: Diese Notation gefällt mir ganz und gar nicht.

Achtung: Die Aussage kann wahr sein, auch wenn \(a_n\) nicht konvergiert. Die Argumentation "nicht konvergent, also ist Aussage falsch" ist zu kurz gesprungen.

Deine Häufungspunkte sind schonmal richtig.