Versuch es mit ein paar logischen Überlegungen, dann kannst du es später in Formeln packen:

(Hör einfach auf zu lesen, wenn du genug Hinweise hast!)

1. Wann ist ein Bruch gleich seinem Kehrwert?

\( \frac{a}{b}=\frac{b}{a} \)

\( a=\frac{b^{2}}{a} \)

\( a^{2}=b^{2} \)

Also wenn a und b den gleichen Betrag haben.

Natürlich nur für a und b ungleich null.

2. Was bedeutet das für deine Aufgabe?

\( |z| = |x-y| \) 

Wir suchen die \( x \in \mathbb{N} \), für die für alle \( y \in \mathbb{N} \) ein \( z \in \mathbb{N} \) existiert, sodass diese Aussage erfüllt ist.

Die Betragsstriche um z können wir damit schon Mal wegfallen lassen. 

Zum Glück hast du schon als Einschränkung, dass \( x \neq y \), also müssen wir das nicht mehr beachten.

3. Für welche natürlichen Zahlen x und y ist der Betrag ihrer Differenz eine natürliche Zahl?

Für alle natürlichen x und y ist die Differenz eine ganze Zahl und damit der Betrag eine natürliche Zahl.

4. Welche natürlichen x sind also die Lösungsmenge?

Alle \( x \in \mathbb{N} \) erfüllen die Aussage.