Diffeomorphismus + Jacobi-Matrix

Aufrufe: 503     Aktiv: 23.06.2022 um 00:06
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Hallo,
ich habe dazu ein paar Fragen:

Zur (a): Ich habe Definitionen und Sätze einfach über "Diffeomorphismen" in meinem Skript. Allerdings habe ich nie was von "überall", "lokal" oder "C unendlich" gelesen. Ist das dasselbe? Muss ich also einen Diffeomorphismus nachweisen oder was muss ich hier beachten?

Zur (b):
Da habe ich mit der Umkehrfunktion \( g(x,y) = (ln( \frac{u+v}{2} ), ln( \frac{u-v}{2} )) \) die Jacobi-Matrix 
\( J_g(u,v) \) = $\begin{pmatrix}
 \frac{1}{u+v} \frac{1}{v+u} \\
\frac{1}{u-v} \frac{1}{v-u} \\
\end{pmatrix}$

Ist das richtig?
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Die Jacobi-Matrix kannst du nachprüfen indem du die von f investierst und guckst, ob sie gleich sind, da dies für Diffeomorphismen gelten muss. Lokal ist der definitionsbereich gemeint  in dem eine Lösung existiert. Der Logarithmus ist nur auf den positiven R bestimmt, dementsprechend gibt es Einschränkungen
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Zur (b): Stimmt, hätte ich auch selbst drauf kommen können.

Und zur a): So ganz werde ich aus deiner Antwort da noch nicht schlau. Kann ich also bspw mit diesem Satz arbeiten:
Es seien G ⊆ R^d und H ⊆ R^p offen. Ist f : G → H ein Diffeomorphismus, so gilt d = p und es ist det Df(x) =/= 0 sowie (Df(x))^−1 = Df^−1(f(x)) für alle x ∈ G.

1) d = p ist offensichtlich gegeben.
2) Determinante von Df(x) ist -1/2e^(x+y). Also stimmt.
3) Das habe ich ja für die (b) erst überprüft.

Also f ist ein Diffeomorphismus. Aber überall? und lokal? und c-unendlich?   ─   sreal 22.06.2022 um 19:22
Da mir hier leider gerade nicht geholfen werden kann, hätte ich noch eine kleine Frage zu einem anderen Thema:
Ich muss zeigen, dass eine Funktion glatt ist. Gibt es dafür einen pauschal guten Weg oder ist das immer aufgabenabängig?   ─   sreal 22.06.2022 um 21:57
Oh ja, stimmt. Ich hätte diesen Satz hier:
Sei G ⊆ R^d offen und f ∈ C^1 (G; R^d). Ist f injektiv und Df(x) für alle x ∈ G invertierbar, so ist f : G → f(G) ein Diffeomorphismus.
Wenn man das gezeigt hat, reicht das dann?   ─   sreal 22.06.2022 um 22:39
Ah, dann wohl dieser hier:
Es sei G ⊆ R^d offen, x0 ∈ G und f ∈ C^1(G; R^d). Ist Df(x0) invertierbar, so existieren offene Umgebungen U ⊆ G von x0 und V ⊆ R^d von y0 := f(x0), so dass ˆf := f|U : U → V ein Diffeomorphismus ist.
Das Geschwurbel verstehe ich allerdings nicht so ganz. Reicht es zu zeigen, dass Df(x) invertierbar ist?   ─   sreal 22.06.2022 um 22:50
Ja, tue ich. Also habe ich jetzt für die (a) gezeigt, dass die Determinante ungleich 0 ist und bin fertig.
Und die (b) hatte ich ja schon.

Vielen Dank :)   ─   sreal 22.06.2022 um 23:04
Oh, tut mir leid, dass ich das nicht genauer gesagt habe. Das mit dem Glatt war ganz unabhängug von dieser Aufgabe. Aber gerne kannst du mir da auch noch helfen.

Ich kann sie hier mal kurz reinkopieren

Zeigen Sie, dass es eine Umgebung U von (1, 1) gibt, die durch f : R^2 → R^2,
f(x, y) = (x^3 + xy + 1, x + y + y^3 + 1)
bijektiv auf eine Umgebung V von (3, 4) abgebildet wird und berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion g :=(f|U)^−1in (3, 4). Zeigen Sie zudem, dass die Umkehrfunktion g ∈ C∞(V ;U) glatt ist.

Da fehlt mir am Ende der Aufgabe das "glatt".   ─   sreal 22.06.2022 um 23:15
Oh, mein Fehler. Das habe ich total vergessen, dass das ja auch noch zu zeigen ist.   ─   sreal 22.06.2022 um 23:33
Werde mich wohl morgen wieder mit beschäftigen   ─   sreal 22.06.2022 um 23:49
Oh super. Danke für die Recherche.   ─   sreal 23.06.2022 um 00:06

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