Diffeomorphismus + Jacobi-Matrix

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Hallo,
ich habe dazu ein paar Fragen:

Zur (a): Ich habe Definitionen und Sätze einfach über "Diffeomorphismen" in meinem Skript. Allerdings habe ich nie was von "überall", "lokal" oder "C unendlich" gelesen. Ist das dasselbe? Muss ich also einen Diffeomorphismus nachweisen oder was muss ich hier beachten?

Zur (b):
Da habe ich mit der Umkehrfunktion \( g(x,y) = (ln( \frac{u+v}{2} ), ln( \frac{u-v}{2} )) \) die Jacobi-Matrix 
\( J_g(u,v) \) = $\begin{pmatrix}
 \frac{1}{u+v} \frac{1}{v+u} \\
\frac{1}{u-v} \frac{1}{v-u} \\
\end{pmatrix}$

Ist das richtig?
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Die Jacobi-Matrix kannst du nachprüfen indem du die von f investierst und guckst, ob sie gleich sind, da dies für Diffeomorphismen gelten muss. Lokal ist der definitionsbereich gemeint  in dem eine Lösung existiert. Der Logarithmus ist nur auf den positiven R bestimmt, dementsprechend gibt es Einschränkungen
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Zur (b): Stimmt, hätte ich auch selbst drauf kommen können.

Und zur a): So ganz werde ich aus deiner Antwort da noch nicht schlau. Kann ich also bspw mit diesem Satz arbeiten:
Es seien G ⊆ R^d und H ⊆ R^p offen. Ist f : G → H ein Diffeomorphismus, so gilt d = p und es ist det Df(x) =/= 0 sowie (Df(x))^−1 = Df^−1(f(x)) für alle x ∈ G.

1) d = p ist offensichtlich gegeben.
2) Determinante von Df(x) ist -1/2e^(x+y). Also stimmt.
3) Das habe ich ja für die (b) erst überprüft.

Also f ist ein Diffeomorphismus. Aber überall? und lokal? und c-unendlich?
  ─   sreal vor 3 Tagen

Da mir hier leider gerade nicht geholfen werden kann, hätte ich noch eine kleine Frage zu einem anderen Thema:
Ich muss zeigen, dass eine Funktion glatt ist. Gibt es dafür einen pauschal guten Weg oder ist das immer aufgabenabängig?
  ─   sreal vor 2 Tagen, 21 Stunden

"f glatt" ist dasselbe wie "f in $C^\infty". Diese Eigenschaft ergibt sich normalerweise durch Anwendung von Sätzen auf die konkreten Gegebenheiten.
Der Satz, den Du oben zitierst, garantiert Dir keinen Diffeomorphimus. Lies genau, da steht "WENN f ein Diffeom. ist, DANN gilt...:"
Du brauchst hier einen Satz, indem steht, salopp gesagt, "wenn Jf(x,y) invertierbar ist, gibt es einen lokalen Diffeom." Der sollte in Deinen Unterlagen stehen, suche das raus.
  ─   mikn vor 2 Tagen, 21 Stunden

Oh ja, stimmt. Ich hätte diesen Satz hier:
Sei G ⊆ R^d offen und f ∈ C^1 (G; R^d). Ist f injektiv und Df(x) für alle x ∈ G invertierbar, so ist f : G → f(G) ein Diffeomorphismus.
Wenn man das gezeigt hat, reicht das dann?
  ─   sreal vor 2 Tagen, 20 Stunden

Wie Du ja oben schon gemerkt hast, fehlt da das "lokal". Dieser Satz hier sagt: Wenn f injektiv ist (das wissen wir aber nicht) und Df inv ist, dann gibt es einen (globalen) Diffeom.
Es müsste einen Satz ohne "injektiv" geben, dafür mit "f lokal DM", wobei statt "lokal" auch ein Geschwurbel mit Umgebungen stehen kann.
Alternativ kannst Du diesen Satz nehmen, musst aber vorher zeigen, dass f injektiv ist. Soweit ich das sehe, ist das möglich. Du hast ja auch schon eine Umkehrfunktion berechnet.
Wenn f globaler DM ist, dann ist auch die Eigenschaft "glatt" einfach, denn dass f glatt ist, sieht man ja direkt an der Def.
Nur klingt die Aufgabenstellung nicht so, als wäre es so gedacht.
  ─   mikn vor 2 Tagen, 20 Stunden

Ah, dann wohl dieser hier:
Es sei G ⊆ R^d offen, x0 ∈ G und f ∈ C^1(G; R^d). Ist Df(x0) invertierbar, so existieren offene Umgebungen U ⊆ G von x0 und V ⊆ R^d von y0 := f(x0), so dass ˆf := f|U : U → V ein Diffeomorphismus ist.
Das Geschwurbel verstehe ich allerdings nicht so ganz. Reicht es zu zeigen, dass Df(x) invertierbar ist?
  ─   sreal vor 2 Tagen, 20 Stunden

Genau diesen Satz meinte ich. Ja, das reicht. Man bezeichnet die Sache mit den Umgebungen kurz als "lokal" - es gibt Umgebungen (die klein sein mögen) von x0 bzw. f(x0), so dass f zwischen diesen Umgebungen, also f|U, ein DM ist.
Den Begriff "lokal", im Unterschied zu "global", verstehst Du aber?!
  ─   mikn vor 2 Tagen, 20 Stunden

Ja, tue ich. Also habe ich jetzt für die (a) gezeigt, dass die Determinante ungleich 0 ist und bin fertig.
Und die (b) hatte ich ja schon.

Vielen Dank :)
  ─   sreal vor 2 Tagen, 20 Stunden

Ok, der DM ist also nachgewiesen. Dass dieser DM glatt ist, ist aber nur mit der globalen Variante (injektiv... Deine gefundene Umkehrfunktion) nachzuweisen. Um das aus der lokalen Version (ohne injektiv) zu schließen, bräuchte man einen passenden Satz. Den hab ich aber nicht gefunden. Ich vermute aber stark (ohne Gewähr!), dass der lok. DM genauso glatt ist wie f selbst, also hier auch $C^\infty$.   ─   mikn vor 2 Tagen, 20 Stunden

Oh, tut mir leid, dass ich das nicht genauer gesagt habe. Das mit dem Glatt war ganz unabhängug von dieser Aufgabe. Aber gerne kannst du mir da auch noch helfen.

Ich kann sie hier mal kurz reinkopieren

Zeigen Sie, dass es eine Umgebung U von (1, 1) gibt, die durch f : R^2 → R^2,
f(x, y) = (x^3 + xy + 1, x + y + y^3 + 1)
bijektiv auf eine Umgebung V von (3, 4) abgebildet wird und berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion g :=(f|U)^−1in (3, 4). Zeigen Sie zudem, dass die Umkehrfunktion g ∈ C∞(V ;U) glatt ist.

Da fehlt mir am Ende der Aufgabe das "glatt".
  ─   sreal vor 2 Tagen, 20 Stunden

In der Aufgabe, die Du hier gestellt hast (ganz oben) steht $C^\infty$-DM. Wie schon erklärt, heißt das "glatt". Also braucht man das auch für diese Aufgabe. Siehe meine vorherigen Erklärungen dazu.
Zu Deiner "neuen" Aufgabe später mal.
  ─   mikn vor 2 Tagen, 20 Stunden

Oh, mein Fehler. Das habe ich total vergessen, dass das ja auch noch zu zeigen ist.   ─   sreal vor 2 Tagen, 20 Stunden

Siehe meinen Kommentar etwas höher, den mit "Ok, der DM ist also nachgewiesen." anfängt.   ─   mikn vor 2 Tagen, 20 Stunden

Werde mich wohl morgen wieder mit beschäftigen   ─   sreal vor 2 Tagen, 19 Stunden

Hab den von mir vermuteten Satz, gefunden (der besagt, dass die Umkehrfunktion des DM genauso oft diffbar ist wie das f selbst): https://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/phyws12/di3010.pdf
dort Korollar 1.6, auf Seite 3-2.
Damit ist das "glatt" auch mit der lokalen Version (ohne injektiv) nachgewiesen.
Und die "neue" Aufgabe geht genauso wie die andere (mit der lokalen Version).
  ─   mikn vor 2 Tagen, 19 Stunden

Oh super. Danke für die Recherche.   ─   sreal vor 2 Tagen, 19 Stunden

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