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Aufrufe: 224     Aktiv: 18.11.2023 um 17:27

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Es geht um folgende Aufgabe:

Das sind erstmal meine Notizen:


Grundsätzlich war dies erstmal meine Idee das Assoziativgesetz zu zeigen. Nur weiß ich nicht so ganz ob das so richtig ist (meine Schreibweise ist wahrscheinlich auch schrecklich). Ich bin davon ausgegangen, dass ich eine Fallunterscheidung für beide Verknüpfungen machen muss und bin dabei auf 4 Fälle gestoßen. Muss ich jetzt für jeden Fall dies zeigen? Oder geht es vielleicht auch ganz anders viel einfacher? Und wenn ich ehrlich bin, habe ich noch keine Idee wie ich G2 zeigen sollte (vielleicht wird das neutrale Element 0 sein?).
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Bei G2 musst Du Dir erstmal Gedanken machen, wie das neutrale Element e lautet.
Dafür muss ja schonmal gelten: \(e \odot 1 =1\).
Das heißt
e+1=1, wenn \(e+1 \le 12\) (Fall 1)
e+1-12=1, wenn \(e+1 > 12\) (Fall 2)
Wenn Fall 1 zuträfe, wäre e=0. 0 ist aber nicht in U.
Also trifft Fall 2 zu: e+1-12=1. Auflösen dieser Gl. liefert e.

Dann kannst Du leicht ein neutrales Element überlegen - oder eine passende Formel aufstellen.

Bei G2 sehe ich nicht, wo Du das Assoziativgesetz bewiesen hast.
Um endlosen Fallunterscheidungen aus dem Weg zu gehen, folgende Beweisidee:
Zeige zunächst: Es gibt immer ein \(k\in\mathbb{Z}\), so dass \(m\odot n = m+n+12 k\).
Daraus kann man folgern:
- Es gibt immer ein \(l\in\mathbb{Z}\), so dass \((m\odot n)\odot a = m+n+a+12 l\).
- Es gibt immer ein \(j\in\mathbb{Z}\), so dass \(m\odot (n\odot a) = m+n+a+12 j\).
\( (m\odot n)\odot a \in U \;\;\Rightarrow\;\; 1\le m+n+a+12l \le 12\).
\( m\odot (n \odot a) \in U \;\;\Rightarrow\;\; 1\le m+n+a+12j \le 12\).

Daraus kannst Du dann l=j folgern, und daraus G2.

Falls Unklarheiten oder Hindernissen bitte nochmal melden.
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Entschuldigung für meine späte Antwort, aber ich musste bereits die Aufgabe abgeben, bevor du deine Antwort geschrieben hast. Aber danke für deine Antwort. Ich hätte tatsächlich noch Fragen zu diesem Ansatz: Also bei $k$ ist ja, dass es von der Menge $\left\{-1, 0\right\}$ stammen sollte? Genau so wie $l$ und $j$ von der Menge $\left\{-2, -1, 0\right\}$? Also warum hast du dann $\mathbb{Z}$ betrachtet? Also es läuft auf das Gleiche hinaus, dass es immer ein $k,l,j \in \mathbb{Z}$ gibt. Wahrscheinlich also wegen weniger Schreibaufwand?
Meine zweite Frage bezieht sich auf $l$ und $k$: warum hast du dort überhaupt unterschieden, dass die beiden möglicherweise nicht gleich sein könnten (indem du zwei verschiedene Variablen gegeben hast)? Ich darf die Gleichheit also erst schlussfolgern, nach dem ich gesagt habe, dass beide Gleichungen zwischen 1 und 12 liegen? Und wenn ja warum?
Sorry, wenn das einfache Grundlagen sind, aber ich hab hier noch ein paar Unsicherheiten an denen ich mich oft aufhalte.
  ─   unclever2001 18.11.2023 um 15:20

Ja, wenn ich \(k,j,l\in \mathbb{Z}\) nehme, habe ich weniger Schreibarbeit.
Ja, ich habe unterschiedliche zunächst Variablen j und l verwendet, weil ich die Gleichheit dieser Variablen erst weiter unten beweise.

Der Beweis der Gleichheit geht so:
Es gelte \(1 \le m+n+a+12l\le12\;\;\;(1)\)
und \(\;\;\;\;\;\;1 \le m+n+a+12j\le12\;\;\;(2)\).
Annahme, j>l. Dann ist \(j\ge l+1\)
Dann ist \(m+n+a+12j \ge m+n+a+12(l+1) = m+n+a+12l + 12 \stackrel{(1)}\ge 1 + 12 = 13\). Widerspruch zu (2), also ist \(j\le l\)
Analog zeige ich, dass \(l\le j\). Also ist l=j.



  ─   m.simon.539 18.11.2023 um 17:27

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