Wie löst man ein homogenes DGL-System 3. Ordnung?

Erste Frage Aufrufe: 263     Aktiv: 01.01.2024 um 18:20

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Ein homogenes DGL-System 3. Ordnung, weiß man wie ich hier weitergehen soll? Bin dankbar für jeden hinweis.
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Ich hoffe inständig, dass \(\theta_x\) bzw. \(\theta_y\) nicht die Ableitung von \(\theta\) nach x bzw. y ist.   ─   m.simon.539 01.01.2024 um 17:49
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Schreib es um auf die Unbekannten  $u=\theta_x', v=\theta_y'$, dann ist es nur noch zweiter Ordnung.
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Setzt man \(u=\theta'_x\), \(v=\theta'_y\),  \(w=\left(\begin{array}{c}u\\v\end{array}\right)\),  \(A=\left(\begin{array}{cc}0&a\\-a&0\end{array}\right)\),  \(E=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\), dann hast Du folgendes System zweiter Ordnung:
\(w''+Aw'+bEw=0\)           (1)
Bei homogenen, linearen DLG-Systemen empfieht sich immer der Ansatz
\( w=e^{\alpha x} w_0\)      (2)
wobei \(\alpha \in \mathbb{R}\) konstant, \(w_0 \in \mathbb{R^2}\) konstant.
(2) in (1) eingesetzt liefert Dir nach Division durch \(e^{\alpha x}\)
\((\alpha^2 E +\alpha A +bE) w_0=0\)           (3)
Für eine nicht-triviale Lösung w muss \(w_0\not=0\) sein. Also muss gelten
\(\det(\alpha^2 E +\alpha A +bE) =0 \)
Das liefert Dir eine Gleichung 4. Grades in \(\alpha\), die man aber - mit einer geeigneten Substitution - recht leicht lösen kann.
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