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Hey
was du suchst ist eine quadratische Funktion / Parabel. Die allgemeine Formel für eine Parabel ist
\( f(x) = y = ax^2 + bx + c \).
Nun müssen die Parameter a, b und c bestimmt werden anhand der in der Aufgabe gegebenen Informationen. Bei 3 Unbekannten musst du also mindestens 3 Gleichungen finden.
2 Informationen beziehen sich auf die Nullstellen der Funktion. Deine Nullstellen sind die Punkte (-3,0) und (-1,0). Aus den Informationen kannst du schonmal 2 Gleichungen bilden.
\( 0 = a(-3)^2 + b(-3) + c = 9a - 3b + c \) und
\( 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c \)
Die 3. Information bezieht sich auf das Integral.
Dafür musst du die Stammfunktion für die allgemeine Parabel ermitteln.
\( \int ax^2 + bx + c = frac{1}{3}ax^3 + \frac{1}{2}bx^2 + cx + const. \)
In die Stammfunktion setzt du jetzt die Integrationsgrenzen (Nullstellen, also -3 und -1) ein und der Flächeninhalt soll 32 sein.
Damit hast du deine 3. Gleichung. Das daraus resultierende Gleichungssystem kannst du dann mit dem Gauß-Algorithmus lösen.
Bei Fragen einfach nochmal melden.
Viele Grüße
Stefan
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el_stefano
M.Sc., Punkte: 6.68K
M.Sc., Punkte: 6.68K
Oder man setzt in der Nullstellenform \(f(x)=a(x+1)(x+3)=a(x^2+4x+3)\) an und ermittelt \(a\) über das Integral, dann spart man sich das Gleichungssystem.
─
sterecht
14.03.2020 um 10:12
Sehr guter Hinweis, danke dafür!
─
el_stefano
14.03.2020 um 10:23
Kannst du das bitte genauer erklären sterecht? Danke
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SchahinPirali
14.03.2020 um 10:53
Stefan danke für die Info aber der Lösungsweg geht doch auch knapper?
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SchahinPirali
14.03.2020 um 10:54
Wegen der Nullstellen wissen wir, dass \(f\) die Form \(f (x)=a (x+1)(x+3)=a (x^2+4x+3)\) mit unbekanntem Parameter \(a\) hat.
Nun soll gelten: \(32\overset!=\int_{-3}^{-1}f (x)dx=\int_{-3}^{-1}(x^2+4x+3)dx=\left[a\left (\frac13x^3+2x^2+3x\right)\right]_{-3}^{-1}\). Setzt du jetzt noch die Integralgrenzen ein, kannst du die Gleichung nach \(a\) umstellen und damit deine Funktion angeben. ─ sterecht 14.03.2020 um 11:00
Nun soll gelten: \(32\overset!=\int_{-3}^{-1}f (x)dx=\int_{-3}^{-1}(x^2+4x+3)dx=\left[a\left (\frac13x^3+2x^2+3x\right)\right]_{-3}^{-1}\). Setzt du jetzt noch die Integralgrenzen ein, kannst du die Gleichung nach \(a\) umstellen und damit deine Funktion angeben. ─ sterecht 14.03.2020 um 11:00
Ich habe jetzt in das integral die grenzen eingegeben, komme aber immernoch nicht auf die 32. ich hab ein lösungsbuch und auf die gleichung komme ich einfach nicht.
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SchahinPirali
14.03.2020 um 11:18
Wenn du die Integralgrenzen einsetzt, kommst du auf \(a (\frac13 (-1)^3+2 (-1)^2+3 (-1))-a (\frac13 (-3)^3+2 (-3)^2+3 (-3))=a (-\frac43-0)=-\frac43a\). Das soll jetzt gleich \(32\) sein. Also einfach \(-\frac43a=32\) nach \(a\) auflösen.
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sterecht
14.03.2020 um 11:24
Also auf -4/3 bin ich gekommen aber wieso jetzt 36? Wie geht es denn jetzt weiter?
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SchahinPirali
14.03.2020 um 11:26
Sorry, hab mich vertippt. Ist schon korrigiert.
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sterecht
14.03.2020 um 11:27
A ist -24. und jetzt?
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SchahinPirali
14.03.2020 um 11:29
Jetzt setzt du das in deine Funktion ein. Folglich ist die Lösung \(f (x)=-24 (x^2+4x+3).\)
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sterecht
14.03.2020 um 11:33
In meinem lösungsbuch steht aber das die gleichung 3X^2+6X -9 lauten muss oder bzw. -3X^2-6X+9
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SchahinPirali
14.03.2020 um 11:36
Das ist falsch! Du kannst selbst leicht überprüfen, dass \(-1\) keine Nullstelle dieser Funktion ist. Wenn man \(-1\) einsetzt, kommt \(-12\) raus, nicht \(0\). Diese Funktion wäre die Lösung, wenn die Nullstellen \(-3\) und \(+1\) wären, das sind sie aber nicht!
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sterecht
14.03.2020 um 12:16