Ich weiß auch nicht, ob du einfach rechnen sollst, oder dazu Überlegungen anstellen.

Im ersteren Fall. Du berechnest erst den y-Wert des Wendepunkts. Die Gerade hat die Gleichung `y = m(x-x_W) + y_W`, wobei du `x_W` und `y_W` einsetzt. Du kannst die Gleichung auch mit dem Ansatz `y = mx + c` finden, indem du die Koordinaten des Wendepunkts einsetzt und nach c auflöst.

Diese Geradengleichung setzt du nun f(x) gleich, um die Schnittpunkte herauszubekommen. Eine Lösung weißt du schon, nämlich die x-Koordinate des Wendepunkts. Wenn du diese mit Polynomdivision herausdividierst, bekommst du eine quadratische Gleichung, die 0, 1 oder 2 Lösungen haben kann, je nachdem ob die Diskriminante (das ist der Term, der bei der Lösungsformel unter der Wurzel steht) negativ, 0 oder positiv ist. Was tatsächlich der Fall ist, hängt von m ab.

Wenn du es dir überlegen sollst: Zeichne den Graph und bestimme die Wendetangente, das heißt, die Tangente im Wendepunkt. Überlege dir, wieviele Schnittpunkte diese hat, und wie sich das ändert, wenn man die Steigung der Gerade größer oder kleiner macht.

Wendepunkt bei \(x_w = 1, y_w = f(1) = 0\)

Geradengleichung in Punktsteigungsform; Wendepunkt als Bezugspunkt:
\(y - y_w = m(x - x_w)\) 
\(\Leftrightarrow y = m(x - x_w) + y_w = m(x - 1)\)

Gleichsetzen mit \(f(x)\):
\(-x^3+3x^2-2x = m(x-1) \Leftrightarrow -x^3+3x^2-(m+2)x-m = 0\)
Gleichung erfüllt für \(x=1\) da Wendepunkt, Teilen durch \((x - 1)\):
\(\Rightarrow -x^2+2x-m = 0\)

Anzahl Schnittpunkte entspricht also der Anzahl der Lösungen der obigen quadr. Gleichung; Fallunterscheidung (Determinante \(\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4m\)):
    - 1. Fall (1 Schnittpunkt): \(\Delta < 0 \Leftrightarrow 4-4m < 0 \Leftrightarrow m > 1\)
    - 2. Fall (2 Schnittpunkte): \(\Delta = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
    - 3. Fall (3 Schnittpunkte): \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m < 1\)

Funktion \(n\) liefert die Anzahl der Schnittstellen in Abhängigkeit von \(m\):
\(n: \mathbb{R} \to \{1,2,3\}, \;m \mapsto \begin{cases} 1,  &m>1\\2,  &m=1\\3,  &m<1\end{cases}\)