Question

Gleiche Schreibweise für Mächtigkeit/Kardinalität und Betrag

Erste Frage Aufrufe: 199 Aktiv: 01.10.2023 um 12:32

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Mal 'ne blöde Frage.

Sowohl die Schreibweise für die Mächtigkleit einer Menge als auch der Betragsfunktion werden mit "|...|" angegeben.

Z.B. Mächtigkeit:
A = {1, 3, 7, 21} => |A| = 4

Z.B. Betrag:

|7| = 7

|x + 3| = 5

Kann man also sagen, dass wenn |...| in Verbindung mit einer (Un-)Gleichung steht, dass es sich dann um einen Betrag handelt?

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gefragt 01.10.2023 um 11:47

flo1
Student, Punkte: 10

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1 Antwort

cauchy · Answer 1 · 2023-10-01T11:50:49Z

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Die Bilder sind nicht zu sehen. Es ergibt sich aber aus dem Kontext, worum es sich handelt: steht dort eine Menge, ist es die Kardinalität, steht dort eine Zahl, ist es der Betrag und steht dort ein Vektor, ist es die Länge des Vektors.

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geantwortet 01.10.2023 um 11:50

cauchy
Selbstständig, Punkte: 30.55K

Habs gesehen und geändert ─ flo1 01.10.2023 um 11:53

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Das ist wenn man genauer drüber nachdenkt gar nicht so klar. Wenn man ausgehend von Mengen Mathematik betreibt (was aktuell der Standard ist), so ist jede Zahl eine Menge. Wenn wir davon ausgehen, dass $0$ keine natürliche Zahl ist (was auch viele Mathematiker so sehen), so würde man die natürlichen Zahlen nach Neumann wie folgt konstruieren:
$$1:=\emptyset \\
2:=\{1\}\\
3:=\{1,2\}$$

Schreiben wir $|-|$ für die Kardinalität einer Menge, so erhalten wir $|1|=0,|2|=1,\ldots$.
Würden wir stattdessen auch $0$ zu den natürlichen Zahlen zählen (hierzu gibt es auch noch wesentlich wichtigere Argumente), so würde die Kardinalität mit dem Betrag bei natürlichen Zahlen übereinstimmen. Leider funktioniert es in diesem Fall Fall aber z.B. bei reellen Zahlen nicht mehr. Als Menge hat jede einzelne reelle Zahl unendlich viele Elemente. Um das Problem zu lösen kann man für die Kardinalität einfach das Zeichen # nehmen (was auch sehr verbreitet ist) oder man ist sich dem Problem bewusst und lässt es dem Leser über, was gemeint ist.

Das ist wenn man genauer drüber nachdenkt gar nicht so klar. Wenn man ausgehend von Mengen Mathematik betreibt (was aktuell der Standard ist), so ist jede Zahl eine Menge. Wenn wir davon ausgehen, dass $0$ keine natürliche Zahl ist (was auch viele Mathematiker so sehen), so würde man die natürlichen Zahlen nach Neumann wie folgt konstruieren:
$$1:=\emptyset \\
2:=\{1\}\\
3:=\{1,2\}$$

Schreiben wir $|-|$ für die Kardinalität einer Menge, so erhalten wir $|1|=0,|2|=1,\ldots$.
 Würden wir stattdessen auch $0$ zu den natürlichen Zahlen zählen (hierzu gibt es auch noch wesentlich wichtigere Argumente), so würde die Kardinalität mit dem Betrag bei natürlichen Zahlen übereinstimmen. Leider funktioniert es in  diesem Fall Fall aber z.B. bei reellen Zahlen nicht mehr. Als Menge hat jede einzelne reelle Zahl unendlich viele Elemente. Um das Problem zu lösen kann man für die Kardinalität einfach das Zeichen # nehmen (was auch sehr verbreitet ist) oder man ist sich dem Problem bewusst und lässt es dem Leser über, was gemeint ist.

─ mathejean 01.10.2023 um 12:22

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Man kann es auch übertreiben. ─ cauchy 01.10.2023 um 12:27

Ich verstehe das es übertrieben wirkt, aber es ist nichts im Vergleich zu anderen Sachen in Mathematik. ─ mathejean 01.10.2023 um 12:28

Es ist aber auch sehr wichtig für Computer die Beweise überprüfen (ich denke einer der wichtigsten Forschungen in aktueller Mathematik). Für ihn ist eine Zahl auch nur eine Menge und es würde widersprechen ─ mathejean 01.10.2023 um 12:31

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