Ansatz bei nicht-linearer, homogener Differentialgleichung 1. Ordnung unklar

Aufrufe: 645     Aktiv: 17.11.2021 um 11:36
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1. Ich habe folgende DGL vorliegen:
$\begin{align}
m \cdot \ddot{x} &= -a\dot{x}^2
\end{align}$

2. Da es um den freien Fall geht, mit Stokes-Reibung und ich eine Geschwindigkeitsfunktion angeben soll, sollte ich folgendes tun können:
$\begin{align}
m \cdot \dot{v} &= -av^2
\end{align}$
3. Nun ist mein eigentlicher Ansatz eine TdV:
$\begin{align}\frac{dv}{dt} &= \frac{a \cdot v^2}{m} \\
\int_{t_0}^{t} dv &= \int_{v_0}^{v(t)} \frac{a \cdot v^2}{m} dt 
\end{align}$
Ich weiß nur gerade nicht, was ich so wirklich damit anfangen soll. Vor allem mit der linken Seite. Das Intervall des Integrals ist gegeben durch $v(t=0)=0$. Also ist es ja ein Anfangswertproblem. Wo genau bin ich jetzt falsch abgebogen?
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Hallo,

die Umformung die du im 2. Abschnitt gemacht hast ist korrekt. Allerdings hast du hier eine nichtlineare DGl 1. Ordnung, die du nicht mit TdV lösen kannst. Genauer hast du hier eine Bernoulli-DGl (s. Bernoulli-DGl)

\( \dot{v} = kv^\alpha \) mit \( \alpha= 2 \) und \( k= -\frac{a}{m} \).

Diese lässt sich durch Substitution von \( z(t) := v^{1-\alpha} \) auf eine lineare DGl bringen und lösen.

Wenn du nun versuchst  \( \dot{z} \) zu bilden (Vorsicht: Kettenregel!) kannst du in diese Ableitung einfach die DGl \( \dot{v} = k v^2 \) einsetzen und \( \dot{z} \) nach der Zeit integrieren. Anschließend musst du nur noch Rücksubstituieren und du hast die Lösung für \( v(t) \)

Viele Grüße
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Wie und wieso soll ich in $\dot{v}=k\cdot v^2$ einsetzen?   ─   user89b235 16.11.2021 um 14:30
$\begin{align*}
z &= v^{1-b} \\
\dot{z} &= - v^{-1}\cdot \dot{v} \\
\dot{z} &= - v^{-1}\cdot (-\frac{a}{m})\cdot v^2 \\
\dot{z} &=\frac{a}{m}\cdot v
\end{align*}$

Ich nehme an, du meinst es so?   ─   user89b235 16.11.2021 um 16:45
Korrekt. Nur ist dir irgendwie das \( v^{-2} \) abhanden gekommen in der 2. Zeile als du die Ableitung gebildet hast. \( z = v^{1-2} = v^{-1} \rightarrow \dot{z} = - \frac{1}{v^2} \dot{v} \).
Nach dem Einsetzen solltest du dann \( \dot{z} = \frac{a}{m} \) haben.   ─   hipster.waldo 17.11.2021 um 00:30

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