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Hallo,
die Umformung die du im 2. Abschnitt gemacht hast ist korrekt. Allerdings hast du hier eine nichtlineare DGl 1. Ordnung, die du nicht mit TdV lösen kannst. Genauer hast du hier eine Bernoulli-DGl (s. Bernoulli-DGl)
\( \dot{v} = kv^\alpha \) mit \( \alpha= 2 \) und \( k= -\frac{a}{m} \).
Diese lässt sich durch Substitution von \( z(t) := v^{1-\alpha} \) auf eine lineare DGl bringen und lösen.
Wenn du nun versuchst \( \dot{z} \) zu bilden (Vorsicht: Kettenregel!) kannst du in diese Ableitung einfach die DGl \( \dot{v} = k v^2 \) einsetzen und \( \dot{z} \) nach der Zeit integrieren. Anschließend musst du nur noch Rücksubstituieren und du hast die Lösung für \( v(t) \)
Viele Grüße
die Umformung die du im 2. Abschnitt gemacht hast ist korrekt. Allerdings hast du hier eine nichtlineare DGl 1. Ordnung, die du nicht mit TdV lösen kannst. Genauer hast du hier eine Bernoulli-DGl (s. Bernoulli-DGl)
\( \dot{v} = kv^\alpha \) mit \( \alpha= 2 \) und \( k= -\frac{a}{m} \).
Diese lässt sich durch Substitution von \( z(t) := v^{1-\alpha} \) auf eine lineare DGl bringen und lösen.
Wenn du nun versuchst \( \dot{z} \) zu bilden (Vorsicht: Kettenregel!) kannst du in diese Ableitung einfach die DGl \( \dot{v} = k v^2 \) einsetzen und \( \dot{z} \) nach der Zeit integrieren. Anschließend musst du nur noch Rücksubstituieren und du hast die Lösung für \( v(t) \)
Viele Grüße
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hipster.waldo
Student, Punkte: 132
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Wie und wieso soll ich in $\dot{v}=k\cdot v^2$ einsetzen?
─
user89b235
16.11.2021 um 14:30
$\begin{align*}
z &= v^{1-b} \\
\dot{z} &= - v^{-1}\cdot \dot{v} \\
\dot{z} &= - v^{-1}\cdot (-\frac{a}{m})\cdot v^2 \\
\dot{z} &=\frac{a}{m}\cdot v
\end{align*}$
Ich nehme an, du meinst es so? ─ user89b235 16.11.2021 um 16:45
z &= v^{1-b} \\
\dot{z} &= - v^{-1}\cdot \dot{v} \\
\dot{z} &= - v^{-1}\cdot (-\frac{a}{m})\cdot v^2 \\
\dot{z} &=\frac{a}{m}\cdot v
\end{align*}$
Ich nehme an, du meinst es so? ─ user89b235 16.11.2021 um 16:45
Korrekt. Nur ist dir irgendwie das \( v^{-2} \) abhanden gekommen in der 2. Zeile als du die Ableitung gebildet hast. \( z = v^{1-2} = v^{-1} \rightarrow \dot{z} = - \frac{1}{v^2} \dot{v} \).
Nach dem Einsetzen solltest du dann \( \dot{z} = \frac{a}{m} \) haben. ─ hipster.waldo 17.11.2021 um 00:30
Nach dem Einsetzen solltest du dann \( \dot{z} = \frac{a}{m} \) haben. ─ hipster.waldo 17.11.2021 um 00:30