Die Monotonie ändert sich nicht im Sattelpunkt wie es sonst bei Extrema der Fall ist. Es gibt Funktionen die einen Sattelpunkt haben, die aber trotzdem nicht umkehrbar sind, weil sie vielleicht noch weitere Extrema haben. Die Funktion wäre dann höchstens teilweise umkehrbar. (Für ein bestimmtes Intervall) Bsp. für eine teilweise umkehrbare Funktion ist $x^2$. Diese ist nur für $x\geq 0$ umkehrbar. Wenn du jetzt eine Funktion wie $x^3$ betrachtest, dann hat diese einen Sattelpunkt in $(0,0)$ und sie ist streng monoton wachsend. Diese ist über den ganzen Definitionsbereich umkehrbar. Wenn man sich jetzt aber die Funktion $\tan(x)$ anschaut. Dann hat diese auch mehrere (unendlich viele) Sattelpunkte und ist auch über den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend, aber sie ist nur im Intervall von $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ umkehrbar.
Was ich mit den Beispielen versuche möchte zu sagen, ist das es diesbezüglich keine Verallgemeinerung gibt ob eine Funktion mit Sattelpunkt und strenger Monotonie umkehrbar ist. Und wenn dann "nur" über ein bestimmtes Intervall.