Sind solche Funktionen umkehrbar?

Erste Frage Aufrufe: 127     Aktiv: 15.04.2022 um 17:04

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Hallo,

ich stehe gerade vor einem Rätsel und brauche doch mal Hilfe.

Es sind ja alle Funktionen umkehrbar, die streng monoton steigend sind.
In diesem Zusammenhang stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch. 

Ist eine Funktion, die einen Sattel- bzw. Terrassenpunkt besitzt streng monoton steigend bzw. fallend?
Dementsprechend: Sind solche Funktionen umkehrbar oder nicht? 

 

Da sieht man mal, wie viel Grundlagenauffrischung in der Schule versäumt wird und von uns Schülern kurz vor dem Abi nochmal wiederholt werden muss...

LG und vielen Dank für (schnelle) Antworten ;)

gefragt

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Die Monotonie ändert sich nicht im Sattelpunkt wie es sonst bei Extrema der Fall ist. Es gibt Funktionen die einen Sattelpunkt haben, die aber trotzdem nicht umkehrbar sind, weil sie vielleicht noch weitere Extrema haben. Die Funktion wäre dann höchstens teilweise umkehrbar. (Für ein bestimmtes Intervall) Bsp. für eine teilweise umkehrbare Funktion ist $x^2$. Diese ist nur für $x\geq 0$ umkehrbar. Wenn du jetzt eine Funktion wie $x^3$ betrachtest, dann hat diese einen Sattelpunkt in $(0,0)$ und sie ist streng monoton wachsend. Diese ist über den ganzen Definitionsbereich umkehrbar. Wenn man sich jetzt aber die Funktion $\tan(x)$ anschaut. Dann hat diese auch mehrere (unendlich viele) Sattelpunkte und ist auch über den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend, aber sie ist nur im Intervall von $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ umkehrbar.
Was ich mit den Beispielen versuche möchte zu sagen, ist das es diesbezüglich keine Verallgemeinerung gibt ob eine Funktion mit Sattelpunkt und strenger Monotonie umkehrbar ist. Und wenn dann "nur" über ein bestimmtes Intervall.
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Das Beispiel mit dem Tangens ist falsch. Erstens hat der Tangens keinen Sattelpunkt und zweitens ist der Tangens nicht auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, weshalb auch auf ganz $\mathbb{R}$ keine strenge Monotonie vorliegen kann. Das steht aber gar nicht zur Diskussion. Es geht nämlich eher um die Frage, ob aus strenger Monotonie in einem Intervall die Umkehrbarkeit der Funktion auf diesem Intervall folgt. Und diese Aussage ist gültig, denn aus strenger Monotonie auf einem Intervall $I$ folgt Bijektivität auf $I$ und die Umkehrfunktion ist ebenfalls streng monoton.   ─   cauchy 14.04.2022 um 19:17

Erstmal danke für den Hinweis mit dem Tangens, habe nachgeschaut er hat wirklich keine Sattelpunkte was ich fälschlicherweise annahm. Und wegen der Monotonie ist dieser aber Intervallweise stets streng monoton wachsend. Über ganz $\mathbb{R}$ war an der Stelle nie die Rede nur über den Definitionsbereich, was aber so auch nicht ganz korrekt ist, gebe ich zu. Das eine streng monotone Funktion über ein bestimmtes Intervall umkehrbar ist habe ich ja geschrieben.   ─   maqu 14.04.2022 um 19:31

Der Tangens ist eben nicht über dem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend, sondern immer nur auf den einzelnen Intervallen. Diese Formulierung ist also in deiner Antwort auch nicht richtig, so dass der Tangens als Gegenbeispiel für "strenge Monotonie $\Rightarrow$ Umkehrbarkeit" eher schlecht gewählt ist, weil bereits die Annahme fehlerhaft ist.   ─   cauchy 14.04.2022 um 19:50

@cauchy Dem habe ich in meinem Kommentar eben doch nicht wiedersprochen 😅   ─   maqu 14.04.2022 um 19:54

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Achja stimmt. Den Nebensatz habe ich überlesen. ;)   ─   cauchy 14.04.2022 um 20:34

Wie immer gut das du bei jeder Antwort auf Korrektheit achtest 👍   ─   maqu 14.04.2022 um 20:43

Aktuell kommen ja nicht so viele Fragen rein, da gibts also nicht so viel zu tun. Da kann man dann quasi jede Frage und Antwort auch lesen. :D   ─   cauchy 14.04.2022 um 20:47

Okay, alsooo; ich brauche jetzt nochmal eine Kurzfassung 😅
Halten wir fest: Eine einfache Funktion, nehmen wir x^3, die ja einen Sattelpunkt besitzt, ist dennoch streng monoton steigend und damit umkehrbar.

So stimmt’s doch, oder ?


Ich beneide übrigens euer Engagement, welchem ihr hier alle möglichen Fragen bearbeitet !! danke!
  ─   xlena9 15.04.2022 um 12:14

Man gibt sein bestes 😅 … ja $x^3$ ist hat diese Eigenschaften und ist umkehrbar. Wenn man die Umkehrfunktion zu einer Funktion bestimmt, kann man sich dies auch grafisch veranschaulichen. Man spiegelt die Funktion an der Geraden $y=x$ und erhält das Schaubild der Umkehrfunktion. Natürlich ist das bei manchen Funktionen auch nur für bestimmte Intervalle möglich. Wenn du das einmal mit $x^3$ und einmal mit $x^2$ machst, kannst du erkennen, dass $x^3$ über ganz $\mathbb{R}$ umkehrbar ist während das bei $x^2$ nur für $x\geq 0$ der Fall sein kann.   ─   maqu 15.04.2022 um 12:40

Okay, na dann vielen herzlichen Dank!   ─   xlena9 15.04.2022 um 17:04

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