Das ist alles richtig. 2pi/3 ist 120 Grad. Zeichne einfach mal zwei Vektoren und überlege wo der Schnittwinkel ist. Du wirst merken, es gibt da zwei Möglichkeiten für den Winkel, beide Werte ergänzen sich zu 180 Grad. Es ist nicht eindeutig, welcher von beiden der "richtige" Winkel ist.

Übrigens noch zum Schnittpunkt: Deine Begründung sagt nur, dass (1,0) Schnittpunkt ist, nicht dass es keine weiteren gibt. Für den Nachweis dafür setzt man \(k1(t_1)=k2(t_2)\), durch Quadrieren der Komponenten und addieren erhält man daraus \(e^{2t_1\sqrt3}=1\), also \(t_1=0\), und daraus \(t_2=\frac\pi2+2k\pi\). Die unendlich vielen Möglichkeiten für \(t_2\) führen aber alle auf den gleichen Punkt und den gleichen Tangentenvektor.
Und: Zur Angabe der Kurve gehört das Intervall, das der Parameter durchläuft, die fehlt hier. Auch davon hängt ab, wieviele Schnittpunkte es gibt.

Für beide Tangenten in t=0 über die Ableitung den Anstieg m berechnen. Für den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden mit Anstiegen m1 und m2 gibt es eine Formel. Kannst Du nachschlagen. Es gilt
\(\tan \alpha = (m_1 - m_2)/(m_1 m_2 +1) \).

Der Winkel \(\frac{2\pi}{3}\) entspricht \(120^\circ\). Wenn sich zwei Geraden schneiden, gibt es immer zwei verschiedengroße (Neben)Winkel. Der Schnittwinkel ist immer der kleiner von beiden und kleiner als \(90^\circ\). In deinem Fall ist der Schnittwinkel also \(180^\circ-120^\circ = 60^\circ\).