Tangentengleichung

Aufrufe: 684     Aktiv: 03.11.2021 um 07:49
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Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =1÷x. 
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(2|1÷2). 
 
Die Lösung (im Buch) :
Allgemeine Tangentengleichung: y= - 1÷u^2 x + 3/u^2

y=-1÷4x +1

Meine Frage: Wie kommt man darauf? Kann es mir bitte jemand erklären?
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2 Antworten
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Es gibt auch noch die allgemeine Tangentengleichung \(y_t(x) = f'(x_0)(x-x_0)+y_0\), die erhält man durch Umformung des Differentialquotienten.

Die Abeitung von \(\frac{1}{x}\) ist \(-\frac{1}{x^2}\).

Setzt du das jetzt ein, erhälst du \(y_t(x) = -\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{2}\), was dann nach Auflösen der Klammer deine Tangente ergibt.
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Allerdings verstehe ich deine Lösung aus dem Buch noch nicht. Dort steht \(y=-\frac{1}{u^2}x+\frac{3}{u^2}\)? Hast du dich da vertippt? Wenn man \(u = x_0\) setzt, müsste da doch \(y=-\frac{1}{u^2}(x-u)+f(u)\) stehen, und das wäre \(y=-\frac{1}{u^2}x+\frac{u}{u^2}+\frac{1}{u}\). Daraus bekommt man dann \(y=-\frac{1}{u^2}x+\frac{2}{u}\).   ─   lernspass 03.11.2021 um 07:46

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Allgemeine Form einer Tangente ist $y=mx+b$. Die Steigung $m$ wird durch die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle bestimmt, also $m=f'(x_0)$. Anschließend kannst du $m$ und die Koordinaten des Punktes in die allgemeine Formel einsetzen und nach $b$ auflösen.
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Ich habe es so gemacht und es kam die Lösung y=0x+1÷2 raus.
Ich denke mein Fehler liegt an der 1.Ableitung f'(x) = - x^-2
Aber ich kann keinen Fehler erkennen.   ─   user5a27b4 02.11.2021 um 22:37
Wenn du \(x_0\) in f' einsetzt, kommt nicht m = 0 raus.   ─   lernspass 02.11.2021 um 22:42
@user5a27b4 Dieses Verfahren muss auch zur richtigen Lösung führen. Aber du hast dich schon bei m verrechnet, da kann b natürlich auch nicht mehr stimmen. cauchy schreibt dir doch, dass \(m=f'(x_0)\) ist, und du hast die Ableitung richtig bestimmt. Jetzt setz doch mal \(x_0=2\) in die Ableitungsfunktions \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\) ein. Wieso kommt da bei dir m = 0 raus?   ─   lernspass 03.11.2021 um 07:49

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.