Gradient Eigenschaft

Aufrufe: 37     Aktiv: 04.07.2021 um 09:15

0
Für den Gradient gilt ja: \(\langle\ grad f(a), v \rangle\) = \(\partial_vf(a)\) = ||\(grad f(a)\)|| ||\(v\)|| cos\(\phi\) = ||\(grad f(a)\)|| cos\(\phi\) 

Und daraus soll man jetzt ablesen können, dass ||\(grad f(a)\)|| = max{ \(\partial_vf(a)\),  ||\(v\)|| = 1} und ich sehe nicht warum und wie?
Danke schonmal
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 156

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Du bildest hier zuerst das Skalarprodukt vom Gradienten-Vektor und einem beliebigen Richtungsvektor $v$.
Das Skalarprodukt ist immer dann maximal, wenn zwei Vektoren parallel oder antiparallel sind, weil dann der Kosinus den Wert 1 oder -1 hat.

Alle erlaubten Richtungsvektoren sind nun normiert: $||v||=1$. Dann bleibt aber $\partial_vf(a)=||\text{grad}{f(a)}||\cdot \cos(\phi)$ Rechnung für die Richtungsableitung übrig.

Die zweite Zeile besagt nun, dass der Gradient in die Richtung des größten Anstiegs des Skalarfelds zeigt, also in die Richtung(en), in denen Gradient und Richtungsvektor parallel sind - weil genau dann der Betrag vom Kosinus maximal ist. Und bei normierten Richtungsvektoren stimmen die Werte überein. Würde man nicht normieren, dann ergäbe ein Vergleich ja keinen Sinn, weil man $v$ so wählen kann, dass $||v||$ beliebig groß wird...
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 645

 

Kommentar schreiben