Du bildest hier zuerst das Skalarprodukt vom Gradienten-Vektor und einem beliebigen Richtungsvektor $v$.
Das Skalarprodukt ist immer dann maximal, wenn zwei Vektoren parallel oder antiparallel sind, weil dann der Kosinus den Wert 1 oder -1 hat.

Alle erlaubten Richtungsvektoren sind nun normiert: $||v||=1$. Dann bleibt aber $\partial_vf(a)=||\text{grad}{f(a)}||\cdot \cos(\phi)$ Rechnung für die Richtungsableitung übrig.

Die zweite Zeile besagt nun, dass der Gradient in die Richtung des größten Anstiegs des Skalarfelds zeigt, also in die Richtung(en), in denen Gradient und Richtungsvektor parallel sind - weil genau dann der Betrag vom Kosinus maximal ist. Und bei normierten Richtungsvektoren stimmen die Werte überein. Würde man nicht normieren, dann ergäbe ein Vergleich ja keinen Sinn, weil man $v$ so wählen kann, dass $||v||$ beliebig groß wird...