Faktorring R[x] / <x^2 + 1> isomorph zum Körper C der komplexen Zahlen

Erste Frage Aufrufe: 47     Aktiv: 15.07.2021 um 15:49

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Hallo werte Community,

In meiner Aufgabe soll ich zeigen, dass der Faktorring R[x] / <x^2  + 1> zum Körper C der komplexen Zahlen ismorph ist: R[x] / <x^2  + 1>  ~  C

Meine Frage ist, ob meine Herangehensweise dies zeigt:

R[x]    <x^2  + 1>   = { p(x) (x^2+1) | p(x) ∈ R [x] }

R[x] / <x^2  + 1> = { ax+b + <x^2+1> | ab ∈ R }
   ( ax+b + <x^2+1> ) + ( cx+d + <x^2+1> )
    = ( a+c ) + ( b+d ) + <x^2+1>
  ( ax+b <x^2+1> ) * (( cx+d ) + <x^2+1> )
   acx^2 + adx + bcx + bd + <x^2+1>

     x^2+1 =  0
     x^2     = -1

( ad + bc ) * x + ( bd - ac ) + <x^2+1>
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