Orientiere Dich am Schnittpunkt von Tangente und Normale. Ich mache jetzt ein Beispiel mit einer positiven Steigung der Tangente, also $m_t>0$.

Betrachte die Tangente und zeichen ein Steigungsdreieck ein (irgendeins).
Beschrifte die waagerechte Strecke mit $\Delta x_t$, beschrifte die senkrechte Strecke mit $\Delta y_t$. Für die Steigung der Tangente gilt dann $m_t=\frac{\Delta y_t}{\Delta x_t}$.

Die Normale hat ja zur Tangente einen rechten Winkel. Drehe also das Blatt um 90°.
-> die Tangente wird zur Normalen.
Was passiert mit dem Steigungsdreieck?
-> $\Delta x_t$ wird zu $-\Delta y_n$ (denn Du hast die Strecke vorher von links nach rechts gezeichnet, jetzt geht sie aber von oben nach unten, deshalb das Minus).
-> $\Delta y_t$ wird zu $\Delta x_n$. (vorher nach oben gezeichnet, jetzt nach rechts - also beides genau in die positiven Richtungen des Koordinatensystems)

Die Längen bleiben aber genau gleich.
Bestimme jetzt
1) $m_n$ als Quotienten so, wie ich es oben mit der Tangente vorgemacht habe
2) ersetze $\Delta x_n$ und $\Delta y_n$ durch die Werte der Tangente.


Multipliziere dann $m_n\cdot m_t$. Da sollte sich etwas wegkürzen und -1 sollte übrig bleiben.


Alternativ kann man sich das auch so vorstellen:
Durch die Drehung um 90° vertauschen die Beträge von $\Delta x$ und $\Delta y$ die Plätze, also bekommt man den Kehrbruch (Kehrwert) der Tangentensteigung. Bleibt noch das Vorzeichen:

Wenn die Tangente steigt, dann fällt die Normale (und umgekehrt) - sie müssen also verschiedene Vorzeichen haben (Spezialfall: Die Tangentensteigung ist 0, dann ist die Normale nicht als Funktion darstellbar, und die Gleichung gilt auch nicht).

Wenn man dann die Steigungen miteinander multipliziert, kürzen sich die Zahlen alle weg und -1 bleibt übrig.