Wie auch in der Aufgabenstellung steht, ist die Äquivalenzklasse \([(a_n)_{n\in\mathbb N}]=\{(b_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal C\ |\ (a_n)_{n\in\mathbb N}\sim(b_n)_{n\in\mathbb N}\}\) die Menge aller Cauchyfolgen, die zu \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) äquivalent sind.
Für die (a) musst du zeigen: Seien \([(a_n)_{n\in\mathbb N}],[(b_n)_{n\in\mathbb N}]\in\mathcal C/\sim\) zwei Äquivalenzklassen, weiter \((a'_n)_{n\in\mathbb N}\in[(a_n)_{n\in\mathbb N}],(b'_n)_{n\in\mathbb N}\in[(b_n)_{n\in\mathbb N}]\). Dann gilt $$\hat d([(a_n)_{n\in\mathbb N}],[(b_n)_{n\in\mathbb N}])=\lim_{n\to\infty}d(a_n,b_n)\overset!=\lim_{n\to\infty}d(a_n',b_n')=\hat d([(a'_n)_{n\in\mathbb N}],[(b'_n)_{n\in\mathbb N}])$$ wobei du die Gleichheit mit dem ! zeigen musst. Das heißt eben, dass der Wert von \(\hat d\) unabhängig davon ist, welche Folge aus der Äquivalenzklasse (also zum Beispiel \((a_n)_n\) oder \((a'_n)_n\)) man wählt.
Bei der (b) musst du einfach die Eigenschaften einer Metrik nachrechnen. Weißt du, wie eine Metrik definiert ist?

In den jeweiligen Äquivalenzklassen sind die Cauchyfolgen, deren Abstand (bezüglich der Metrik \(d\)) gegen \(0\) konvergiert, das heißt, dass sie sich beliebig annähern bezüglich \(d\). In Aufgabe (a) sollst du einfach zeigen, dass der Wert der Metrik \(\hat{d}\) unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. Wähle hierfür beliebige Cauchy-Folgen \(a_n,a_n',b_n,b_n'\) mit \(a_n\sim a_n'\) und \(b_n\sim b_n'\) und zeige, dass \(\hat{d}([a_n],[b_n])=\hat{d}([a_n'],[b_n'])\) gilt, arbeite hier mit der Definition von der Äquivalenzrelation. Bei (b) musst du zeigen, dass \(\hat{d}\) die Metrikaxiome erfüllt,  verwende hierzu,  dass \(d\) nach Voraussetzung eine Metrik ist.