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Das ist soweit gut, nur ein Fehler fällt mir auf. Die "Konstanten" \(C,K\) dürfen nicht nur reelle Zahlen sein, sondern Funktionen \(C(y),K(x)\) in \(y\) bzw. \(x\). Denn egal was das für Funktionen sind, bei der Ableitung nach \(x\) bzw. \(y\) fallen sie weg.
Jetzt musst du also noch untersuchen, ob es solche Funktionen \(C(y),K(x)\) mit $$\frac12x^2+xy^2+C(y)=\sin(x)y+xy^2+K(x)$$ gibt.
Jetzt musst du also noch untersuchen, ob es solche Funktionen \(C(y),K(x)\) mit $$\frac12x^2+xy^2+C(y)=\sin(x)y+xy^2+K(x)$$ gibt.
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stal
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hmm wie soll man denn sowas untersuchen? einfach beliebige Werte einsetzten?
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olibats
21.05.2021 um 14:04
Informell kannst du sehen, dass du den Sinus auf der rechten Seite links nicht herbekommen kannst. Etwas formaler kannst du umformen zu $$C(y)=\sin(x)y+K(x)-\frac12x^2.$$ \(K(x)-\frac12x^2\) ist wieder eine Funktion in \(x\), setzen wir \(\widehat K(x):=K(x)-\frac12x^2\), dann gilt also \(C(y)=\sin(x)y+\widehat K(x)\). Nun hängt die linke Seite nicht von \(x\) ab, also darf die rechte Seite auch nicht von \(x\) abhängen. Formal kannst du das z.B. so zu einem Widerspruch bringen: $$1+\widehat K\left(\frac\pi2\right)\overset{\substack{x=\frac\pi2\\y=1}}=C(1)\overset{\substack{x=0\\y=1}}=\widehat K(0)\overset{\substack{x=0\\y=0}}=C(0)\overset{\substack{x=\frac\pi2\\y=0}}=\widehat K\left(\frac\pi2\right),$$ was nicht sein kann.
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stal
21.05.2021 um 14:17
vielen Dank für die ausführliche Erklärung!! :)
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olibats
21.05.2021 um 14:48